Зареждане

Видео транскрипция

В това видео искам да направя графика на класическа показателна функция и после да направя графика на свързана логаритмична функция, и да видим как двете са свързани нагледно. Двете неща, на които ще направя графика, са у = 2^х и у, равно на логаритъм от х при основа 2. Окуражавам те да спреш видеото на пауза, да направиш таблица за всяко от тях и да опиташ да направиш графиките на същата графична хартия. Виж как са свързани и ако видиш как са свързани помисли защо са свързани по този начин. Нека започнем с у, равно на 2^х. Ще направя малка таблица с различни стойности за х и съответните стойности за у. х и у; можем да започнем с -2, -1, 0, 1, 2, 3. Във всеки случай у ще е 2, повдигнато на тази степен. 2^(-2) ще е 1/4. 2^(-1) е 1/2. 2^0 е 1. 2^1 е 2. 2^2 е 4. 2^3 е 8. Нека начертаем графиката на това. 2^3 е 8. 2^2 е 4. 2^1 е 2. 2^0 е 1. 2^(-1) е 1/2. 2^(-2) е 1/4. Дори 2^(-3) ще е 1/8, така че ще изглежда ето по този начин. Графиката на функцията ще изглежда ето така – като това тук. Това е един вид... понякога това бива наричано "експоненциален хокеен стик", понеже донякъде изглежда като хокеен стик, като започва бавно и после изведнъж тръгва право нагоре. Забележи, когато отиваме наляво, когато х става по-отрицателно и по-отрицателно, нашата стойност доближава 0, но никога не стига точно дотам. Ако имаме 2 на степен минус 1 милион, това ще е много, много малко число, много, много близо до 0, но няма да е точно 0. Ще имаме хоризонтална асимптота при у, равно на 0, или оста х е хоризонтална асимптота. Добре. Нека направим графиката на у, равно на логаритъм от х при основа 2. Преди да начертая графиката, нека помислим за друг начин за представяне на това. Това буквално казва, че за всяко х, на каква степен у трябва да повдигна 2, за да получа х. Това е еквивалентно твърдение като да кажем, че 2^у = х. Ако забелязваш, това, което направихме тук, между тези две неща, просто променяш местата на всички х и у. Тук е 2^х = у. Тук е 2^у = х. Тук просто разменяш местата на х и у. Тук виждаме, че можем да сменим местата на тези две колони. х и у, нека направя това – 1/4, 1/2, 1, 2, 4 и 8. Тук казваме, че ако х е 1/4, на каква степен трябва да повдигнем 2, за да получим 1/4. Трябва да го повдигнем на степен -2. 2^(-1) е равно на 1/2. 2^0 е равно на 1. 2^1 е равно на 2. 2^2 е равно на 4. 2^3 е равно на 8. Забележи, всичко, което направихме, беше да преместим местата на тези две колони, така че нека начертаем тази графика. Когато х е равно на 1/4, у е равно на -2. Когато х е равно на 1/2, у е равно на -1. Когато х е 1, у е 0. Когато х е 2, у е 1. Когато х е 4, у е 2. Когато х е 8, у е 3. Ще изглежда ето така. Забележи, мисля, че вече виждаш модел ето тук. Тези две графики всъщност са симетрични образи една на друга. Спрямо какво ще трябва да отразиш, за да получиш тези двете? Ще трябва да отразиш спрямо у, равно на х. Ако смениш местата на всички х и у, друг начин да помислим за това – ако размениш местата на осите, тогава ще получиш другата графика. Точно това всъщност правим. Забележи, тя е симетрична спрямо правата и това е, понеже тези са обратни функции една на друга. Един начин да мислим за това е, че разменихме местата на всички х и у. Когато х става по-отрицателно и по-отрицателно, и по-отрицателно, виждаш, че у доближава 0. Тук виждаш, че у става по-отрицателно и по-отрицателно, когато х доближава 0, или можеш да кажеш, че когато х доближава 0, у става по-отрицателно и по-отрицателно. Цялата идея на това е да ти даде шанс да осъзнаеш връзката между показателна функция и логаритмична функция. Те са обратни една на друга. Виждаш това по графиките на функциите – те са симетрични една на друга спрямо правата у, равно на х.