Изпълнение на питагоровото доказателство: пътешествието започва

Обикновено учителите по математика представят дадено доказателство като стройна последователност от стъпки. Като че ли с някаква магия учителят винаги знае кое следва и ние се чудим как някой изобщо е измислил тези неща. За да усещаме по-малко доказателствата като някаква магия, е важно да разберем разликата между това да научим наготово едно доказателство и това някой да намери доказателството за пръв път.

Научаването на съществуващо доказателство е като посещение в музей, а създаването на доказателство за пръв път е като изследването на непозната джунгла. Музеят е хубав, защото е чист и добре организиран. Джунглата е много по-вълнуваща, но е много по-трудно да намерим пътя, по който искаме да тръгнем. Успехът изисква творчество, постоянство, и както всичко останало, практика.

Изглежда невероятно, че почти винаги има повече от един успешен начин за доказване на някакво твърдение. Питагоровата теорема, например, има не по-малко от 367 отделни записани доказателства!

Можеш да разглеждаш В търсене на доказателства за питагоровата теорема като твой пътеводител в джунглата. Той ще те насочва в правилната посока, но ще ти позволи също така да избереш своя собствен път. Някои от пътищата те водят към успех; други те водят към странни, неизследвани територии.

По време на пътуването си ще се сблъскаш с принципи за създаване на доказателства, които ще ти помогнат да видиш кое определя правилните избори.

Опитваме се да докажем питагоровата теорема, която гласи, че

за всеки правоъгълен триъгълник, където $a$a и $b$b са дължините на катетите, а $c$c е дължината на хипотенузата.

Това уравнение звучи почти поетично:

Всичко е повдигнато на квадрат! Така че защо да не започнем с представянето на тези числа с истински квадрати в буквалния смисъл.

Лицето на синия квадрат, прикрепен в долната част, представя $a^2$a, squared, тъй като дължината на страната му е $a$a. Също така лицето на розовия квадрат отляво е $b^2$b, squared, тъй като дължината на страната му е $b$b. Лицето на третия жълт квадрат е $c^2$c, squared, защото едната от страните му е хипотенузата на триъгълника, която има дължина $c$c.

Принцип на доказателствата: Винаги опитвай да представиш какво в действителност означават символите и изразите, с които си имаш работа.

Ключови въпроси: Защо трябва да бъде вярно, че лицето на големия жълт квадрат се равнява общо на лицата на по-малките син и розов квадрат? Не е ясно от това изображение, така че трябва да направим нещо с тази картинка, за да достигнем до прозрение.

Има много пътища, по които можем да поемем оттук. За по-просто, ето два варианта: