Определени интеграли на съседни интервали

Изобразили сме тази площ под кривата f от х и над оста х, между точките х равно на a и х равно на b. Означена е като определен интеграл от a до b, от f от x, dx. В настоящия урок искам да въведа трета стойност c, която е между a и b. Може да е равно на a или b. Нека я въведа, ето така. Мога да го запиша като a е по-малко или равно на c, което е по-малко или равно на b. Искам да разгледам как този определен интеграл е свързан с определения интеграл от а до с и с определения интеграл от c до b. Нека да разгледаме това. Имаме определен интеграл от a до c, f от х, dx. Всъщност вече използвах този лилав цвят за самата функция, така че сега ще използвам зелено. Имаме интеграла от а до с, от f от x, dx. Това се описва ето тази площ тук от а до с под кривата f от х и над оста х, така че това е ето това. След това имаме интеграла от c до b, от f от x, dx и това разбира се ще е описание на тази площ ето тук. Може би нещото, за което се сещаш, е, че цялата площ от a до b, т.е. цялата тази площ, е просто сума от тези две по-малки площи. Това е равно на ето това плюс това тук. Отново, може би ще попиташ: "Защо това свойство на интегрирането е полезно?". Дадено е, че с се намира в интервала по-голямо или равно на а и по-малко или равно на b. Защо е полезно да можем да разделим интервала по този начин? Както ще видиш, това свойство е наистина полезно. Може да бъде много полезно, когато разглеждаш функции, които са прекъснати, например функция с интервали на стъпки, то може да разделиш по-големия интеграл на по-малки интеграли. Също така ще разбереш, че това свойство е полезно, когато доказваме фундаменталната теорема на анализа. Всъщност това е една много, много полезна техника. Нека да начертая примерен интеграл, където може да бъде много полезно да се приложи това свойство. Това е a, а това b. Нека да кажем, че функцията е... или просто ще избера да е константа в рамките на интервала. Константа е от тук до тук, а след това слиза надолу от тук до тук. Нека да кажем, че функцията изглежда по този начин. Може да кажеш, че по-големия интеграл, който ще бъде площта под кривата, ще обхваща всичко това. Нека да кажем, че има пролука ето тук, или че слиза ето там. Цялата тази площ може да разделим на две части. Може да я разделим на две по-малки части. Може да я разделим на тази площ ето тук, а след това на тази площ ето тук, като приложим точно това свойство на интегрирането.