Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 8: Свойства на определените интеграли- Отрицателни определени интеграли
- Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
- Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
- Определен интеграл в една единствена точка
- Интегриране на мащабиран вариант на функция
- Размяна на границите за определен интеграл
- Интегриране на суми от функции
- Решени примери: Намиране на определени интеграли с помощта на алгебрични свойства
- Намиране на определени интеграли с използване на алгебрични свойства
- Определени интеграли на съседни интервали
- Решен пример: Разделяне на интервала за даден интеграл
- Решен пример: Сливане на определени интеграли на съседни интервали
- Определени интеграли на съседни интервали
- Функции, дефинирани чрез интеграли: разменен интервал
- Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в долната граница
- Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в двете граници
- Функции, дефинирани с интеграли: задача предизвикателство
- Преговор на свойствата на определените интеграли
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Размяна на границите за определен интеграл
Какво се случва, когато размениш границите на един интеграл?
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Вече знаем една дефиниция
за определен интеграл, а много други също са тясно свързани
с тази дефиниция. Това, което знаем, е, че определеният
интеграл от a до b, от f от x, dx, е ето тази
защрихована площ в синьо. Може да я апроксимираме, като я разделим на n броя
правоъгълници. Нека изберем това да е първият
правоъгълник. Това е вторият правоъгълник. Продължаваме така, докато не
достигнем до n-ия правоъгълник. Този ще бъде (n – 1) -ият правоъгълник. За целта на настоящия
урок ще приемем, че всичките имат еднаква широчина. А това е n-ият правоъгълник. Всички те имат еднаква широчина, но
сме виждали дефиниция за интегриране, където не
е било нужно всички правоъгълници да имат
еднаква широчина. Нека обаче тук да изберем всяка една широчина да е
делта х (dx). Изчисляваме делта х като намерим разликата b минус а и я разделим на n. Което е разбираемо, или това е, което сме научили от делението. Просто вземаме това разстояние и го
разделяме на n, за да получим n броя равни
участъци от делта х. В този момент може да си кажеш, че сме виждали това множество пъти и може да изчислиш приближението. Може да апроксимираш площта, като
използваш тези правоъгълници като сума от i равно на 1 до n. Сумираш лицата на всички тези n броя
правоъгълници, където височината на всеки един от
тях ще бъде равна на f от x с долен
индекс i (x i), където x i, е точката, в която изчисляваме
стойността на функцията, за да намерим
височината. Това може да е х1, х2, х3 и т.н., и умножаваме по делта х. Вземаш х2, f от х2 е тази височина ето тук. Умножаваш я по делта х. И получаваш лицето. Виждали сме това, когато
разглеждахме Риманови суми и ги използвахме, за да
апроксимираме. Видяхме, че една от дефинициите за
определен интеграл, е, че след като това е площта, то тя ще
бъде равна на границата, когато n клони
към безкрайност, от този израз, където делта х е
дефинирано по този начин. Нека да го копирам и поставя. Това е възможен начин да го
разглеждаш. Според тази дефиниция, какво
мислиш... или казано с други думи – как мислиш, че ето този израз, който
записвам тук, според тази дефиниция как
е свързан с този израз? Забележи, че в първия случай тук
границите са от a до b, а сега са дадени от b до a. Каква мислиш, че ще бъде връзката
между тези два израза? Насърчавам те да разгледаш целия
този запис, за да достигнеш до отговора. И да спреш видеото, за да го
направиш. Нека само да помислим върху това,
какво се случва. Това, което ще направя, е буквално просто да взема този израз и да го
копирам. Ако просто го взема и го копирам, то по дефиниция, след като съм
разменил тези две граници, следва да разменя и тези две тук. Вместо b минус а, сега ще се получи
a минус b. Ще се получи a минус b. Тази стойност ето тук... Нека да я означа с някакъв цвят. Това оранжево делта х ще бъде
отрицателната стойност на това зелено делта х. Това е ето това с отрицателен знак. А всичко останало е същото. Тогава какво ще трябва да
направя сега? Действително ще получа отрицателната стойност на този
интеграл. Следователно това ще бъде равно на минус от интеграл от a до b, от fx, dx. Полученият резултат тук е друго, наистина много важно свойство на
интегрирането. Разменяме границите на интегриране, което се получава всъщност
от ето тази идея, и тогава вместо делта х
да е равно на b минус а, за граници на интегриране ще имаме
a минус b. Тогава ще получим отрицателна
стойност за делта х. Или отрицателната стойност на
първоначалното делта х. Тоест отрицателната стойност на тази първоначална стойност тук. Отново, това е наистина много, много
полезно свойство на интегрирането, когато се
опитваш да разбереш някаква задача с
интеграли, а дори и понякога да решиш част от тях.