Размяна на границите за определен интеграл

Вече знаем една дефиниция за определен интеграл, а много други също са тясно свързани с тази дефиниция. Това, което знаем, е, че определеният интеграл от a до b, от f от x, dx, е ето тази защрихована площ в синьо. Може да я апроксимираме, като я разделим на n броя правоъгълници. Нека изберем това да е първият правоъгълник. Това е вторият правоъгълник. Продължаваме така, докато не достигнем до n-ия правоъгълник. Този ще бъде (n – 1) -ият правоъгълник. За целта на настоящия урок ще приемем, че всичките имат еднаква широчина. А това е n-ият правоъгълник. Всички те имат еднаква широчина, но сме виждали дефиниция за интегриране, където не е било нужно всички правоъгълници да имат еднаква широчина. Нека обаче тук да изберем всяка една широчина да е делта х (dx). Изчисляваме делта х като намерим разликата b минус а и я разделим на n. Което е разбираемо, или това е, което сме научили от делението. Просто вземаме това разстояние и го разделяме на n, за да получим n броя равни участъци от делта х. В този момент може да си кажеш, че сме виждали това множество пъти и може да изчислиш приближението. Може да апроксимираш площта, като използваш тези правоъгълници като сума от i равно на 1 до n. Сумираш лицата на всички тези n броя правоъгълници, където височината на всеки един от тях ще бъде равна на f от x с долен индекс i (x i), където x i, е точката, в която изчисляваме стойността на функцията, за да намерим височината. Това може да е х1, х2, х3 и т.н., и умножаваме по делта х. Вземаш х2, f от х2 е тази височина ето тук. Умножаваш я по делта х. И получаваш лицето. Виждали сме това, когато разглеждахме Риманови суми и ги използвахме, за да апроксимираме. Видяхме, че една от дефинициите за определен интеграл, е, че след като това е площта, то тя ще бъде равна на границата, когато n клони към безкрайност, от този израз, където делта х е дефинирано по този начин. Нека да го копирам и поставя. Това е възможен начин да го разглеждаш. Според тази дефиниция, какво мислиш... или казано с други думи – как мислиш, че ето този израз, който записвам тук, според тази дефиниция как е свързан с този израз? Забележи, че в първия случай тук границите са от a до b, а сега са дадени от b до a. Каква мислиш, че ще бъде връзката между тези два израза? Насърчавам те да разгледаш целия този запис, за да достигнеш до отговора. И да спреш видеото, за да го направиш. Нека само да помислим върху това, какво се случва. Това, което ще направя, е буквално просто да взема този израз и да го копирам. Ако просто го взема и го копирам, то по дефиниция, след като съм разменил тези две граници, следва да разменя и тези две тук. Вместо b минус а, сега ще се получи a минус b. Ще се получи a минус b. Тази стойност ето тук... Нека да я означа с някакъв цвят. Това оранжево делта х ще бъде отрицателната стойност на това зелено делта х. Това е ето това с отрицателен знак. А всичко останало е същото. Тогава какво ще трябва да направя сега? Действително ще получа отрицателната стойност на този интеграл. Следователно това ще бъде равно на минус от интеграл от a до b, от fx, dx. Полученият резултат тук е друго, наистина много важно свойство на интегрирането. Разменяме границите на интегриране, което се получава всъщност от ето тази идея, и тогава вместо делта х да е равно на b минус а, за граници на интегриране ще имаме a минус b. Тогава ще получим отрицателна стойност за делта х. Или отрицателната стойност на първоначалното делта х. Тоест отрицателната стойност на тази първоначална стойност тук. Отново, това е наистина много, много полезно свойство на интегрирането, когато се опитваш да разбереш някаква задача с интеграли, а дори и понякога да решиш част от тях.