Свободни трептения в индуктор-кондензаторна (LC) верига

Ще разгледаме първо какво представляват свободните трептения в една резонансна верига (наричана още трептящ кръг), т.е. електрическа верига, съдържаща индуктор и кондензатор $\text{LC}$‍.

След като получим добра представа какво се случва, ще изведем формулата за свободните трептения в $\underset{―}{\text{резонасна верига с индуктор и кондензатор}}$‍.

Електрическите вериги с два елемента за съхраняване на енергия (кондензатори или индуктори) се наричат системи от втори ред. В системите от втори ред напреженията и токът се променят напред-назад, или трептят. В тази статия описваме как се случва това.

Системите от втори ред са източникът на синусовите вълни в електронните вериги.

Досега сме разглеждали системи от първи ред, $\underset{―}{\text{съдържащи резистор и кондензатор (RC)}}$‍ и $\underset{―}{\text{съдържащи резистор и индуктор (RL)}}$‍, които имат един елемент за съхраняване на енергия, $\text{кондензатор (C)}$‍ или $\text{индуктор (L)}$‍. Свободните трептения във вериги от първи ред имат експоненциален вид, където наблюдаваме "скок" към крайната стойност. Енергията в елемента за съхранение на такава верига се разсейва от резистора.

Сега ще разгледаме верига с два елемента за съхранение на енергия и без резистор. Електрическите вериги с два елемента за съхранение са системи от втори ред, понеже се описват с уравнения с втора производна.

Системите от втори ред са системи, при които се наблюдават колебателни промени с течение на времето, или трептене. Класическият пример за механична система от втори ред е часовник с махало. В електрониката класическата система от този вид е трептящият кръг – $\text{LC}$‍ веригата, която съдържа индуктор и кондензатор.

Искаме да определим свободните трептения в тази верига. Това означава да видим какво се случва във веригата, когато няма външна задвижваща сила. Свободните трептения винаги са важна характеристика на една ел. верига.

Да кажем, че кондензаторът има начално напрежение, което означава, че съхранява някакъв заряд $q$‍. Приемаме, че няма начален ток в индуктора (и, следователно, няма ток и в кондензатора). Какво ще се случи, когато ключът се затвори и оставим тази верига да прави "каквото си иска"? Ще разгледаме това, като проследим какво се случва със заряда $q$‍.

Количеството заряд $q$‍ се определя от произведението на началното напрежение на кондензатора и капацитета на кондензатора: $q=\text{C}v$‍. $q$‍ не се променя при свободните трептения. Като начало целият заряд все още стои в кондензатора.

Сега освобождаваме веригата, като затваряме ключа, за да ѝ позволим да върши "естественото" си нещо.

Индукторът започва с $0$‍ ток. Изведнъж "вижда" началното напрежение, $v={\text{V}}_0$‍. Това напрежение ще генерира покачващ се ток в индуктора и той започва да съхранява енергия в ограждащото го магнитно поле.

Откъде идва този ток (течащ заряд)? Идва от кондензатора, разбира се.

През кондензатора токът протича от горната плоча, преминава през индуктора и заобикаля до долната кондензаторна плоча. Ако $q$‍ се движи надолу, тогава $q=\text{C}v$‍ ни казва, че $v$‍ също трябва да се движи надолу.

В крайна сметка стигаме до състояние, в което зарядът в горната плоча е същият като в долната плоча. Следователно напрежението между краищата на кондензатора пада до $0$‍.

През индуктора протича ток, въпреки че напрежението е $0$‍, понеже енергията, съхранена в магнитното поле на индуктора, поддържа тока да тече. (Токът не спада рязко до $0$‍, когато напрежението стигне до $0$‍.)

Токът на индуктора продължава да придвижва заряд от горната плоча на кондензатора до долната. Сега има повече положителен заряд в долната плоча, отколкото в горната, така че знакът на напрежението се обръща и то става отрицателно.

Докато зарядът се натрупва в долната плоча, той отблъсква пристигащия нов заряд от тока на индуктора (електростатично отблъскване). Токът от индуктора се "огъва" и започва да пада към $0$‍.

След кратко време напрежението ще стигне до пикова отрицателна стойност, когато целият заряд е протекъл в долната плоча. Напрежението ще е отрицателната стойност на началната стойност на кондензатора. За кратък момент зарядът спира да се движи, така че токът пресича $0$‍.

Предишното изображение е почти еднакво с началото ни. Токът е обратно до нула и напрежението е при пикова стойност. Пикът е отрицателната стойност на началната стойност. Можем да се върнем обратно към началото на историята и да я разкажем отново, освен че зарядът ще се движи от долната плоча на кондензатора обратно към горната. Ето го крайния резултат след един пълен цикъл:

Скоростта на трептене (честотата) се определя от големината на $\text{L}$‍ и $\text{C}$‍. Ще открием как работи това, когато изведем формулата за свободното трептене в резонансна верига, съдържаща индуктор и кондензатор $\text{LC}$‍ в следващата статия.

Люлеещо се махало е механичен аналог на резонансна верига, съдържаща индуктор и кондензатор $\text{LC}$‍.

Напрежението $v(t)$‍ е аналогът на позицията. Измерваме позицията на махалото, докато то се отдалечава от централната точка. Разстоянието е $0$‍, $(v=0)$‍, когато махалото виси право надолу и преминава до $v=+{\text{V}}_0$‍ или $-{\text{V}}_0$‍ във всяка крайна позиция.

Токът $i(t)$‍ е аналогът на скоростта. Махалото се движи най-бързо в средната точка $(i={\text{I}}_{max})$‍. Не се движи $(i=0)$‍ за кратък момент във всеки край на люлеенето.

Началното напрежение от $+{\text{V}}_0$‍ съответства на това колко издърпваме махалото надясно, преди да го пуснем.

Пускането на махалото съответства на затварянето на ключа. След това се появяват свободните трептения. Ако точката на окачване е без триене и няма въздушно съпротивление, махалото би се люляло вечно.

В една резонансна $\text{LC}$‍ верига (и махалото) напрежението се променя по модела на синусова вълна. И напрежението, и токът са синусови вълни и можем да видим разлика във времето от $1/4$‍ цикъл между тях.

Разгледахме какво представляват свободните трептения в една $\text{LC}$‍ верига (система от втори ред). И напрежението, и токът имат модел на синусова вълна в течение на времето.