Пример за LC естествен отговор

В предишни видеа разработихме израз за тока i в LC верига като тази и открихме, че i е корен квадратен от капацитета върху индуктивността, по началното напрежение, V0, по синус от омега нулево по t. Омега нулево е естествената честота и казваме, че омега нулево е равно на корен квадратен от 1 върху L по С. V0 е началното напрежение между краищата на кондензатора. Началното ни предположение беше, че i е нула в началото и това е изразът за тока. Искам да разгледаме конкретен пример, ще използвам тази схема тук долу. Първо ще сложа ключ във веригата, за да можем да добавим енергия и тя да не отиде никъде. Капацитетът С е една четвърт фарад, а L е равно на 1 хенри. Добре. На кондензатора ще поставя достатъчно заряд, че напрежението да е 10 волта преди да затворим ключа. После, в момент t равно на нула, затваряме ключа. Искаме да намерим колко е i от t. Имаме L, имаме С, имаме началното напрежение и имаме всичко, което ни трябва, за да намерим тока. Нека направим това. Първо ще намерим омега нулево. Омега нулево е равно на 1 върху корен квадратен от LC, така че това е равно на корен квадратен от едно върху 1 хенри по 1/4 фарад, което е равно на корен квадратен от 4 или е равно на 2. Мерните единици са радиани в секунда. Това е естествената честота. Намерихме естествената честота и сега можем да намерим останалата част. Можем просто да запишем, че i е равно на корен квадратен от С, което е 1/4 фарад, делено на 1 хенри по V0. V0 беше 10 волта. По синус от омега нулево по t, като омега нулево е 2, по t. И, накрая, i е равно... това е корен квадратен от 1/4, което дава 1/2, тоест това е 1/2 по 10, което дава 5. i е равно на 5 по синус от 2t. За тази конкретна верига това е стойността на тока. Сега искам да ти покажа как изглежда това. Това е диаграма на тока i(t) равно на 5 по синус от 2t. И така изглежда синусова вълна в течение на времето. На хоризонталната ос е времето в секунди и по вертикала големината на тока стига до пет ампера, а после надолу до минус пет ампера и продължава надясно, и продължава до безкрайност. Искам сега да намеря напрежението във веригата. Не сме говорили за напрежението все още. Ще скицирам веригата отново. Ето ги L и С. Това тук е напрежението, напрежението в двата елемента. Вече намерихме тока i. Сега искам да намеря V. Колко е V? Това търсим. Знаем, че i е равно на 5 по синус от 2t. Един от лесните начини да намерим напрежението V, е да използваме уравнението за индуктора. Знаем, че V е равно на L di/dt. Това е основното уравнение IV на индуктора. И да видим какво се случва тук. V е равно на... L е 1, по di/dt. Това е d/dt от 5 по синус от 2t. Сега да намерим производната. Ще дойда тук горе. V е равно на... 5 излиза от производната. Синус от 2t. Производната на синус от 2t е 2 по косинус от 2t. Добре. Решението за напрежението е 10 по косинус от 2t. Тук се случи нещо интересно. Нека ти покажа. Започнахме с тока, който е синусова функция, а после диференцирахме тази синусова функция и сега имаме косинусова функция. Преминахме от синус за тока на косинус за напрежението. Това означава, че напрежението не изглежда точно като тока. Нека ти покажа диаграма на напрежението. Това тук е напрежението. Това е V от t. Намерихме, че е равно на 10 по косинус от 2t. Започва при стойност 10 в момент t равно на нула, после образува косинусова вълна, която върви нагоре-надолу между + и -10 волта. Нека ти покажа как изглежда графиката, ако нанесем i и V на една и съща графика, и можем да видим времевата връзка между тях. Кривата за i от t е в синьо, а за V от t в оранжево. Едната от тях е синусова вълна, токът е синусова вълна, а напрежението е косинусова вълна. Това търсехме. Това е естественото трептене на LC верига, като имахме две конкретни стойности на компонентите. Видяхме, че и токът, и напрежението изглеждат като синусоидални вълни. Индукторно-кондензаторният трептящ кръг създава синусовите вълни в електрониката. Това е доста готино.