2011 Математически анализ - част 1; свободен отговор 2 (a & b)

Кана с чай изстива и температурата на чая е моделирана с с диференцируемата функция H за времето t по-голямо или равно на 0 и t по-малко или равно на 10. Времето t е измерено в минути. Температурата H(t) е измерена в градуси по Целзий. Стойностите на H(t) в някакви определени моменти от време t са показани в дадената таблица, ето тази таблица тук. "Използвай данните в таблицата, за да апроксимираш скоростта, с която температурата на чая се променя в момент t = 3,5. Покажи изчисленията, с които достигаш до отговора си." Дали са ни няколко точки, да ги нанесем на графика, за да си представим какво ни казват тези данни. Предполагам, че това ще ни е полезно. На тази ос е температурата. Това е температурата във всеки един момент, в градуси по Целзий. Това е оста за времето, като ни дават време t равно на 0, 2, 5, 9 и 10. Дадена ни е температурата във всеки от тези моменти. Значи това е нула. 2, 5 е малко по-далече. 5, 9 и после 10. В момент t = 0 температурата е 66 градуса по Целзий. 66 е ето тук. При t = 2 температурата е 60 °C. При t = 5 температурата е 52 °C. 5 е ето тук, това са 52 °C. При t = 9, значи след 9 минути, това е 44°C. Това са 44 градуса по Целзий. И след 10 минути температурата е 43°C. Това е графиката, която показва как протича охлаждането през тези 10 минути. Това ни казват данните. Кривата изглежда ето така, като нанесем всички тези точки. Да се върнем към подточка а. "Използвай данните от таблицата, за да апроксимираш скоростта, с която температурата на чая се променя при t = 3,5." Скоростта на изменение е равна на наклона на тази крива при t = 3,5. Значи просто трябва да намерим наклона в тази точка ето тук. Трябва да намерим наклона, като не знаем действителната функция. Най-добрият начин за апроксимация на наклона в тази точка е да намерим наклона между петата и втората минута. Скоростта на изменение, можем да кажем, че скоростта на изменение, ще бъде приблизително промяната на температурата върху тези 3 минути. Значи H(5) минус H(2), това определено са градуси Целзий, върху броя на изминалите минути, ние отиваме на 5 минути, в края на периода сме на 5-тата минута, а започваме от втората минута. Скоростта на изменение е приблизително... В петата минута температурата е 52 градуса. Във втората минута температурата е 60 градуса. После това е върху периода от 3 минути. 5 минус 2 е 3. Получаваме – само ще се преместя малко надясно – получаваме –8. –8 градуса Целзий върху 3 минути. Или скоростта на изменение в момента t = 3,5 ще бъде приблизително 8/3 градуса Целзий за минута. Това е подточка а. Сега подточка b: "Използвайки подходящите мерни единици, обясни смисъла на 1/10 по определен интеграл от 0 до 10 от H(t)dt в контекста на тази задача. Използвай сума от лицата на трапеци в четирите подинтервала, показани в таблицата, за да го изчислиш." Значи интеграл от 0 до 10 от H(t), това е просто площта под цялата тази крива ето тук. Това е интегралът, тази част ето тук. После ще разделим това на 10. И това, което ще получим, този израз ето тук, това е средната температура за този период от време. Интеграл от функцията на температурата, разделен на общото време, което е изминало. После, като използваме подходящите мерни единици – това е средната температура, която отново ще бъде в градуси Целзий. Това е логично, защото това тук е в градуси Целзий. Умножаваме ги по времето тук, но после разделяме на времето ето тук. Значи това е по минути, делено на минути. И получаваме отново градуси Целзий. Значи този израз ето тук е просто средната температура в периода от 10 минути. Казват ни да използваме сума от трапеци за четирите подинтервала, дадени в таблицата, за да го сметнем. Сума от трапеци, това е... ние не знаем точната функция, така че няма да можем да сметнем аналитично този определен интеграл, но можем да разделим площта на четири части. Казват ни да използваме тези четири подинтервала. Всъщност ще я разделим на четири трапеца. Това е единият трапец ето тук. Това е първият трапец с основа от 0 до 2. Виждаме, че в лявата му страна височината на трапеца е 66, а в дясната е 60. Следващият трапец е от 2 до 5. Ще използвам цвят, който контрастира по-добре. Следващият трапец е от 2 до 5. Третият трапец е от 5 до 9. После четвъртият трапец е от 9 до 10. И ако искам да апроксимирам определен интеграл от тази част ето тук, преди да разделя на 10, просто трябва да намеря площта на тези четири трапеца. Да го направим. Площта на първия трапец е основата, която е 2, по средната височина. Височината отляво за този трапец е 66. Височината от дясната страна за този трапец е 60. Средната височина тук е равна на 63, средно аритметично на 60 и 66. Значи това лице тук е 126, това е площта на зелената част ето тук. По същата логика намираме площта на оранжевата част. Ще използвам отново оранжев цвят. Площта на оранжевата част, това е основата, която е 3, по средната височина. Тук височината е 60, а тук височината е 52. Те са отдалечени с 8 единици, значи средната височина ще е на 4 от това, което е 56. Значи тази площ е равна на 3 по 56. Това е 150 плюс 18. 150 плюс 18 е 168. Това е площта на оранжевия трапец, а сега да видим синия. Основата тук е 4, а после средната височина – височината тук е 52, а тук е 44, средното на 52 и 44 е... да видим, те са на 10, извинявам се, на 8 едно от друго. Значи средната стойност е на 4 от всяко от тях, значи е 48, средната височина е 48, 4 по 48 е 160 плюс 32. Това е 192. Накрая остана последния трапец, който има основа 1. Неговата основа ето тук е 1, после височината е 44 отляво и 43 отдясно. Значи средната височина е 43,5. Това е 43,5 по 1. Получаваме 43,5. Ако съберем тези площи, площите на всички тези трапеци, ще имаме много добра апроксимация на определения интеграл. Аз ще използвам калкулатор за тази част ето тук. Имаме 126 плюс 168, плюс 192, плюс 43,5. Това прави 529,5. Това е нашата апроксимация за частта на определения интеграл. Но трябва да я разделим на 10, или да я умножим по 1/10. Значи ние сметнахме тази част от израза, получихме приблизително 529,5. Това не е точно, защото ние апроксимирахме определения интеграл като използвахме сумата от площите на тези трапеци. Сега да умножим по 1/10, да го направим. Можем просто да разделим на 10, за което не ни трябва калкулатор, това е 52,95. Значи този израз ето тук е равен н а 52,95. Ще направим другите две подточки в следващото видео.