Пример за изчисляване на повърхностен интеграл - част 2

В предходното видео започнахме определянето на лицето на повърхнината на един тор или геврек. За целта използваме повърхностен интеграл. За да изчислим повърхностния интеграл, трябваше да намерим частните производни на параметризацията относно s и относно t, а сега можем вече да намерим векторното им произведение. След това ще намерим дължината на вектора, получен при това векторно произведение. След това ще изчислим двойния интеграл и ще намерим лицето на повърхнината. Да го направим стъпка по стъпка. Сега ще намерим векторното произведение, което също отнема време. Това е причината рядко да срещаш изчислени повърхностни интеграли, няма много примери за това. Да намерим векторното произведение на тези две частни производни. Частната производна на r относно s – векторното произведение – в цикламено – с частната производна на r относно t. Това ще е малко като преговор за намиране на векторно произведение. Сигурно си спомняш, че това е равно на детерминантата... Тук ще запиша единичните вектори. първият ред съдържа i, j и k. Следващите два реда ще съдържат... ще използвам това жълто... следващите два реда ще съдържат компонентите на тези частни производни. Ще ги копирам и ще ги поставя. Имаме това ето тук. Копирам и поставям. Поставям го ето тук. После имаме това тук. Копирам и поставям. Поставям ето тук. После имаме ето това тук. Това ни спестява малко време. Копирам и поставям. Поставям го тук. Последният ред ще съдържа компонентите на този вектор. Копирам и поставям. Поставям го тук. Почти съм готов. Ето това – копирам и поставям. Поставям ето тук. Трябва да се вижда добре, че това са различни членове. Накрая – това няма нужда да го копирам, но просто както и с останалите членове – ще направя това и за този член – ще копирам и тази нула. Векторното произведение на тези вектори е просто детерминантата на тази матрица. Само да си припомним как намираме детерминантата – това i по поддетерминантата ето тук, която се получава като зачеркнем този стълб и тази ред. Значи това е равно на i по... вероятно не си свикнал/а да виждаш единичният вектор да се записва отпред, но можем да разменим местата по-късно – по i, по подматрицата ето тук, получена като зачеркнем този стълб и този ред. Значи първият член по 0, което е просто 0, минус този член по този член. Значи минус този член по този член – знаците минус се компенсират, така че това става положително. Ще бъде просто i по този член, по този член, по този член, без знак минус тук, нали? Значи i по този член, което е 'a' по косинус от s. Това е просто този член, по този член, минус този член по този член, но знаците минус се унищожават. Това по това дава нула. Ето така става. Това е 'a' по косинус от s, по b плюс 'a' по косинус от s... ще пиша всичко с един цвят – по синус от t. Получихме члена i на нашето векторно произведение. Сега имаме плюс, по-точно минус j... спомни си, че когато намираме детерминантата, използваме един вид шахматно правило за смяна на знаците. Така че сега ще бъде минус j по – зачеркваме този ред и този стълб – това е този първи член по този член, който е просто нула, минус този член по този член. Отново, когато имаме... о, извинявам се. Когато зачеркнем този стълб и този ред. Значи ще бъде това по това, минус това по това. Ще бъде минус това по това... ще използвам жълто. Значи минус по минус това, b плюс 'a' по косинус от s, по косинус от t, по това – по 'a'косинус от s. Ще разчистя малко тук, и ще видиш, че този знак минус и този знак минус ще се компенсират. Просто умножаваме всичко. Накрая следва члена k. Значи плюс... ще премина на следващия ред – плюс k по... зачерквам този ред и този стълб – става това по това, минус това по това. Това изглежда чудовищно. Но мисля, че ако се прави стъпка по стъпка, не е толкова страшно. Значи това по това. Минусите се унищожават. Значи този член ето тук ще бъде 'a' по синус от t, синус от s. После този член ето тук е b плюс 'a' по косинус от s, по синус от t. Значи това по това – минусите изчезват, затова не поставям никакви знаци минус – минус това по това. Това по това ще бъде отрицателна величина. Но ако сложим знак минус отпред, ще стане положителна величина. Значи става плюс това 'a' по косинус от t по синус от s, по това. По b плюс 'a' по косинус от s, по косинус от t. Сега разбираш защо не срещаш често примери за решаване на повърхностни интеграли. Да видим можем ли малко да разчистим тук, особено ако можем да опростим малко последния член. Да видим как можем да го опростим. Това е първият член. Да умножим, предполагам, че това е най-лесният начин да го направим. Всъщност, най-лесната първа стъпка е просто да изнесем пред скоби b плюс 'a' по косинус от s. Защото във всеки член имаме b плюс 'a' по косинус от s. b плюс 'a' по косинус от s. b плюс 'a' по косинус от s. Просто да го изнесем пред скоби. Това цялото нещо можем да запишем като b плюс 'a' по косинус от s... изнасяме това пред скоби – Ще поставя тук скоби, което означава, че умножаваме по всеки компонент. Значи компонентът i, когато изнесем това пред скоби, ще остане 'a' по косинус от s, по синус от t. Ще го запиша със зелено. Това ще стане 'a' по косинус от s, по синус от t, по i... сигурно ти е непривично да виждаш i отпред, затова ще напиша i тук, а после имаме плюс... Изнасяме това пред скоби, така че ни остава косинус от t, по 'a', по косинус от s. Можем да запишем 'a' по косинус от s, по косинус от t... това е ето това тук, просто ги подреждам по същия начин като тук – по единичния вектор j. После, когато изнесем това пред скоби – няма да имаме това и това повече. Когато изнесем това пред скоби, ще умножим тези, и какво ще получим? Ще използвам зелено. Ако умножим синус от t по това нещо тук – понеже това е всичко, което остава, след като изнесем пред скоби – получаваме 'a' по синус от s, синус на квадрат от t, нали? Получаваме синус от t по синус от t. Синус на квадрат от t. Това е ето това тук. Плюс... какво имаме тук? Имаме 'a' по синус от s, по косинус на квадрат от t. Цялото това по единичния вектор k. Сега нещата изглеждат малко по-опростени, но може би нещо ти прави впечатление. Имаме синус на квадрат и косинус на квадрат. Някак си ако успеем да останем само с това синус на квадрат и косинус на квадрат, това ще ни даде единица. Всъщност можем. Този член тук, можем... ако просто се фокусираме над този член – това са просто алгебрични преборазувания. Ако се фокусираме над този член ето тук, можем да го представим като 'a' по синус от s – ако изнесем това пред скоби – по синус на квадрат от t, плюс косинус на квадрат от t, по нашия вектор k. Нали? Просто изнесох пред скоби синус от s от двата члена. Това е най-важното тригонометрично тъждество за единична окръжност. Това е равно на 1. Значи последният член се опростява до 'a' по синус от s, по k. Свършихме доста работа. Успяхме да намерим векторното произведение на тези две частни производни на векторната функция, или на оригиналната ни параметризация ето тук. Успяхме да намерим това нещо, преди да намерим дължината му, което съответства на това тук. Ще запиша това – всъщност няма нужда да го преработвам. Разбираш защо. Не, ще го преработя. Това е равно на... ще го препиша на чисто и ще го използвам в следващото видео – b плюс 'a' по косинус от s, по, отварям скоба, по 'a' по косинус от s, по синус от t, по i, плюс... отново синьо – плюс 'a' по косинус от s, по косинус от t, по j, плюс... връщам се към синьо – това плюс това, което хубаво се опрости – 'a' по синус от s, по k. По единичния вектор k. Това ето тук е този израз ето тук. Приключвам това видео, тъй като надвиших 10 минути. В следващото видео ще намерим дължината на този вектор. После, ако имаме време, ще решим този двоен интеграл. И с това задачата ще е решена. Ще намерим лицето на повърхнината на нашия тор.