If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Повърхностен интеграл - пример (част 1)

Визуализиране на подходящо задаване на параметри. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео ще се опитаме да намерим повърхностния интеграл на функцията х на квадрат по нашата повърхнина, където интересуващата ни повърхнина, която разглеждаме, ще бъде единичната сфера. Значи тя ще бъде дефинирана с уравнението х на квадрат плюс у на квадрат, плюс z на квадрат равно на 1. В първото видео ще се фокусирам – понеже ще са ни нужни няколко видео клипа, за да го направим - просто да параметризирам тази повърхнина ето тук. Както ще видиш, това често е най-трудната част, защото включва известно онагледяване. След това нещата стават един вид механични, но в същото време са много трудоемки. Така че си струва да разгледаме това. Първо да помислим как ще параметризираме... трудно ми е дори да произнеса тази дума. Как ще параметризираме тази единична сфера като функция на два параметъра. Да помислим за това. Да помислим за това малко. Първо да разгледаме единичната сефера. Ще представя изглед отстрани на единичната сфера. Да вземем единичната сфера. Ето това тук е оста х. Това е оста z. След това ето тук – ще го начертая – това няма да са просто оста х или оста у. Това ще бъде цяла равина ху, гледана отстрани. Това е равнината ху. Нашата единична сфера може би изглежда ето така. Самата единична сфера не е трудно да се начертае. Тя може да изглежда приблизително така. Радиусът – нека да поясня. Радиусът във всяка точка е 1. Това разстояние ето тук е 1. Това разстояние тук е 1. Това е сфера, това не е просто една окръжност. Значи мога даже да я щриховам малко, за да се вижда, че тук имаме тяло в три измерения. Тук ще го защриховам. Така сякаш изглежда по-сферична. Сега да опитаме да я параметризираме. Като първа стъпка да помислим. Ако не ни интерасува нищо над и под равнината ху, ако разглеждаме само напречното сечение на сферата с равнината ху, как ще параметризираме? Да помислим за това. Къде се пресича сферата с равнината ху? Пресича се тук, и тук, и всъщност навсякъде. Значи се пресича ето тук. Просто ще начертая равнината ху, и да помислим за това напречно сечение, а после може да видим какво става, когато отиваме над и под равнината ху. Значи в равнината ху, тази малка област тук, която оцветих – ще го начертая. Сега можем да разглеждаме това почти като изглед отгоре. Оста z сега сочи право към нас, излиза право през екрана. Това е оста х. Ще я начертая. Това е х, а това тук е оста у. Това, което гледахме отстрани, сега го гледаме отгоре. Сега нашата единична сфера ще изглежда така, когато я гледаме отгоре. Това, което току-що начертах, тази окръжност с прекъсната линия, това е мястото, където единичната сфера пресича – ще означа това като у. Това ще е оста х. Не искам да те обърквам. Искам да поясня това. Това е оста х. Тази окръжност със синя прекъсната линия, това е мястото, където единичната сфера пресича равнината ху. Като използваме това, можем да започнем да мислим как да параметризираме поне нашите стойности за х и за у – как да представим координатите х и у като функция от първия параметър. Първият параметър можем да си представим като нещо, което... това е оста z, която излиза от екрана точно срещу нас. По същество, ако се завъртим около оста z и гледаме отгоре, можем да си представим един ъгъл. Можем да означим този ъгъл със 's', което по същество ни показва колко сме се завъртяли от оста х по посока на оста у. Можем да си представиш равнината ху, или равнина, която е успоредна на равнината ху. Можеш да кажеш, че е около оста z. Оста z излиза точно срещу нас. Радиусът тук е 1. Това е единичната сфера. Като знаем параметъра s, какви ще бъдат координатите х и у? Сега разглеждаме сферата така, сякаш сме точно в равнината ху. Тогава координатата х... това ни връща до определението за тригонометричните функции в единична окръжност. х-координатата е равна на косинус от s. Това е радиусът, който е единица, по косинус от s. у-координатата ще бъде 1 по синус от s. Така извеждахме нашите определения за синус и косинус. Това е много просто. В този случай z очевидно е равно на нула. Ако искаме да добавим координатата z, тя е нула. Намираме се в равнината ху. Сега да помислим какво се случва, ако отидем над или под равнината ху. Спомни си, че това е всяка равнина, която е успоредна на равнината ху. Това ни показва колко сме се завъртяли около оста z. Сега да помислим за случая, когато сме над или под нея. За да определим на какво разстояние сме над или под нея, ще въведем още един параметър. Този нов параметър е t. t показва колко сме се завъртяли над или под равнината ху. Интересното за това е, че ако направим друго сечение, което е успоредно на равнината ху, сега ще имаме по-малък радиус на сечението. Искам да поясня. Ако се намираме ето тук, когато тази равнина пресича нашата единична сфера, радиусът на полученото сечение е по-малък. Радиусът е по-малък, отколкото беше преди. Колко ще е този нов радиус? Да използваме малко тригонометрия. Той ще е равен на това разстояние ето тук, което е косинус от t. Значи радиусът ще е косинус от t. Това важи и за тук, защото ако t се промени до 0, косинус от 0 е 1. Това важи и за тук, когато сме в равнината ху. Радиусът ето тук ще бъде – това тук е косинус от 0. Значи това е когато t е равно на 0. Тогава не сме се завъртяли над или под равнината ху. Но ако се завъртим над равнината ху, тогава радиусът се променя. Сега той е косинус от t. Сега можем да използваме тези зависимости, за да параметризираме х и у навсякъде. Да разгледаме това напречно сечение. Не е задължително да сме в равнината ху, да кажем, че сме в някоя равнина, която е успоредна на ху. Ако сме тук горе, сега изведнъж напречното сечение... ако гледаме отгоре, то ще изглежда приблизително така. Може да изглежда и така. Когато гледаме отгоре, напречното сечение е ето тук. Радиусът тук е косинус от t. Когато знаем – предполагам, че можем да кажем, че на височината, на която се намираме, как ще параметризираме, като използваме s от х и от у? Това е съвсем същото, освен че радиусът не е постоянно 1. Сега той е функция от t. Сега сме малко по-високо. Сега нашата координата х ще бъде нашият радиус, който е косинус от t – това е просто нашият радиус – По косинус от s, което показва какъв е ъгълът настрани. В този случай s е направило пълна обиколка. Значи това е косинус от t, по косинус от s. После у-координатата ще бъде нашият радиус, който е косинус от t, по синус от s. Същата логика използваме и тук, освен че сега имаме различен радиус. Нашият радиус вече не е 1. По синус от s. Свършва ми мястото, затова ще се преместя малко надясно. Знам, че това изглежда малко объркващо. Но просто трябва да кажеш, че за всяко дадено ниво се намираме успоредно на оста х. Един вид описваме друга окръжност тук, друга равнина пресича нашата единична сфера. Сега се въртим с ъгъл s. Значи нашият радиус ще се промени. Той е функция от това колко над или под сме се завъртяли – колко сме над или под равнината ху, ако сме се завъртяли. Значи тук трябва да е радиусът, вместо единица. После, s показва колко сме се завъртяли по оста z. Същото важи и за координатата у. После координатата z е много лесна. Тя изцяло е функция от t. Тя не зависи от това колко сме се завъртели за дадена височина. Тя показва каква е реалната ни височина. Сега да видим на този чертеж отляво. Нашата z координата е равна на синус от t. Значи z е равно на синус от t. Ще го запиша. z е равно на синус от t. Сега всяка точка от тази сфера може да се опише като функция от s и от t. Сега да помислим какви интервали трябва да определим. s ще се променя от... за всяко дадено ниво, може да се каже. За всяко дадено t, s ще прави пълна обиколка. Виждаме това ето тук. За всяко дадено ниво, гледано отгоре, s ще прави една пълна обиколка. Ако го разглеждаме в радиани, това е от 0 до 2 по пи. t е височината по посока z. t може да стигне дотук долу, което е минус пи върху 2. Значи t е в интервала от минус пи върху 2 и нагоре може да отиде до пи върху 2. Не е необходимо отново да слиза чак до долу. Значи отива нагоре само до пи върху 2. И така имаме нашата параметризация. Ще запиша това във вид, който ти е по-познат. Ако искаме да представим нашата повърхнина като функция на радиус-вектор, можем да я представим по този начин – можем да запишем, че r е функция от s и t, и е равно на нашия х-компонент. Нашият i-компонент ще бъде косинус от t, по косинус от s, по i. След това нашият у-компонент е косинус от t, по синус от s, плюс нашия z-компонент, който е синус... о, забравих единичния вектор j. По j, плюс компонента z, който е синус от t по k. И сме готови. Това са интервалите, в които се намират тези параметри. Това е първата стъпка. Параметризирахме повърхнината. Сега трябва да съставим повърхностния интеграл. Това включва намирането на векторно произведение, което включва много писане. Накрая ще изчислим самия интеграл.