Повърхностен интеграл - втори пример (част 2)

След като направихме параметризацията, да опитаме да изчислим интеграла. Следващото нещо, което ще направим, е по същество да изразим dS ето тук чрез du и dv. Правили сме го и преди. dS ще бъде равно на дължината на векторното произведение на частната производна на r относно u и частната производна на r относно v, du, dv. Първо да намерим векторното произведение, което ща направим с матрица 3 по 3. Ще го направя ето тук. Съставяме я, като аз просто ще попълня r с индекс u и r с индекс v в действителната детерминанта ето тук. Първо записвам компонентите i, j и k. Сега да помислим на какво е равно r с индекс u – частната производна относно u. Нейният компонент i ще е 1. Частната производна на u относно u е просто 1, значи компонентът i е просто 1. Компонентът j е 0, защото частната производна на v относно u е 0, v не се променя по отношение на u, така че това ще е нула. Тук трябва да има скоби. Частната производна на това относно u отново е 1. Частната производна на v на квадрат относно u е просто 0. Така че тук отново е 1. След това да намерим r с индекс v, частната производна относно v, на която компонентът i ще бъде 0, компонентът j ще бъде 1, и частната производна на u плюс v на квадрат относно v ще бъде 2 по v. Това е една много лесна детерминанта, така че сега да я сметнем. Компонентът i ще бъде i... Зачеркваме този стълб и този ред. Това става 0 по 2 по v, минус 1 по 1. По същество това дава минус 1 по i. Значи ще имаме минус i, това е равно на минус i. После компонентът j – отпред поставяме минус, защото – спомни си, че използваме правилото на шахматната дъска. Зачеркваме този ред и този стълб. 1 по 2 по v е 2 по v. Само да проверя, че не греша. 1 по 2 по v е 2 по v, минус 0 по 1. Това дава 2 по v. Но понеже това е компонентът j, който ще е отрицателен, това ще стане минус 2 по v по j. Само да проверя, че няма грешка. Този стълб, този ред, 1 по 2 по v е 2 по v, минус 0, което е 2 по v. Правилото на шахматната дъска, имаме минус j. Значи получаваме минус 2 по v по j. Сега да намерим компонента k. Зачеркваме този ред и този стълб, 1 по 1, минус 0. Това ще бъде плюс k. За да намерим дължината на това, цялото това нещо тук просто е корен квадратен от... намираме дължината на тази част ето тук, на полученото векторно произведение. Тя е равна на минус 1 на квадрат, което е просто 1, плюс минус 2 по v на квадрат, което е 4 по v на квадрат, плюс 1 на квадрат, което е просто 1. Цялото това нещо дава... имаме 2 плюс 2 по v на квадрат, du, dv. Всъщност... почти направих грешка. Това щеше да е фатално. 2 плюс 4 по v на квадрат, du, dv. Ако искаме, може да ни е полезно да изнесем пред скоби 2. Това е равно на 2 по 1 плюс 2 по v на квадрат, du, dv. Ако изнесем пред скоби 2, това е равно на корен квадратен от 2 по корен квадратен от 1 плюс 2 по v на квадрат, du, dv. Сега мисля, че сме готови да изчислим повъхностния интеграл. Да го направим. Добре. Само ще напиша тези неща тук долу. Ще запиша всичко, което съдържа v, в този лилав цвят. Тук ще запиша частта с dS. Това е квадратен корен от 2 по корен квадратен от 1 плюс 2 по v на квадрат. След това имаме du, което ще запиша в зелено du, после dv. Това е тази част с dS. Това е просто dS. Сега тук имаме у. у е равно просто на v. Ще го запиша в лилаво. у е равно на v. Тогава у... искам да поясня – всичко това е dS. Сега мога да запиша границите чрез u и v. Частта с u – u е равно на х. То е между 0 и 1. После v е равно на у. у или v е в интервала от 0 до 2. Мисля, че сме готови да изчислим интеграла. Променливите u и v не са твърде смесени, така че можем да разделим тези два интеграла, да представим двойния интеграл като произведения два единични. Първото нещо, ако го разгледаме по отношение на du, всичко това в лилаво е просто константа относно u, така че можем да го изнесем от интеграла du. Можем да изнесем всичко в лилаво от интеграла du. Значи този двоен интеграл се опростява до интеграл от 0 до 2... ще го запиша като корен квадратен от 2 по v, по корен квадратен от 1 плюс 2 по v на квадрат. Разложих всичко това. После имаме по интеграл от 0 до 1, du, а после по d, а после dv. Сега, ако това беше нещо сложно, бих казал, че това е просто е функция от u. Това е константа относно v. Тогава можем да изнесем всичко това отвън и да отделим интегралите. Но в този случай това е даже още по-лесно. Този интеграл е равен просто на 1. Значи това цялото нещо е равно на 1. Така че опростихме двойния интеграл до единичен интеграл. Това се опростява до... мога даже да изнеса корен квадратен от 2 – корен квадратен от 2 по интеграл от v равно на 0 до v равно на 2, от v по корен квадратен от 1 плюс 2 по v на квадрат, dv. Вече сме почти на финала на изчисляването на този повърхностен интеграл. Сега ще използваме нещо много базово. Тук можем да интегрираме чрез заместване, което можем да направим и наум. Ако имаме функция, или един вид тази функция ето тук, 1 плюс 2 по v на квадрат, каква е производната на 1 плюс 2 по v на квадрат? Тя е 4 по v. Тук почти имаме 4 по v. Можем да направим това да е равно на 4 по V, като умножим по 4, а след това като разделим на 4 тук. Това не променя стойността на интеграла. Сега за тази част ето тук можем много лесно да намерим примитивната функция. Примитивната функция на това е равна на... имаме производната на тази функция ето тук, така че един вид можем да я разглеждаме като х или като v. Намираме примитивната функция относно това нещо ето тук, и получаваме, че това е 1 плюс 2 по v на квадрат на степен 1/2. Увеличаваме степенния показател с 1, значи става 1 плюс 2 по v на квадрат, на степен 3/2. След това делим на 3/2, което е същото като да умножим по 2/3, значи по 2/3. Това е примитивната функция на това. Сега, разбира се, все още имаме това нещо отпред – корен квадратен от 2 върху 4. Ще го изчислим от 0 до 2. Всъщност, можем да опростим още, като изнесем 2/3. Не е нужно да се тревожим за него за 2 и за 0. Значи изнасяме 2/3, значи по 2 върху 3. Всъщност тези се съкращават. Това става 1. Това става 2. Остава ни – това тук става 1/6 по... Ако изчислим това за 2, получаваме 2 по v на квадрат. Това е равно на 2 по 4, което е 8, плюс 1 дава 9, на степен 3/2. 9 на степен 1/2 е 3, 3 на трета степен е 27. Значи това е равно на 27. След това минус това, изчислено за нула. Това нещо, изчислено за 0, е просто 1. 1 на степен 3/2 е просто 1, значи минус 1. И така получаваме... о, допуснах грешка. Тук трябва да е корен квадратен от 2, корен квадратен от 2 върху 6, по 27 минус 1. Барабани! Това е стойността на повърхностния интеграл – да видим, 27 минус 1 е 26. Значи 26 по корен квадратен от 2, върху 6. Можем да опростим още малко. Делим числителя и знаменателя на 2, това дава 13 по корен квадратен от 2, върху 3. Готови сме.