Повърхностен интеграл - трети пример (част 2)

В края на последното видео разглеждахме повърхнина 2, която е тази оцветена в синьо повърхнина, или тази синя външна стена на този срязан цилиндър, който разглеждаме. Направихме подходящата параметризация. След това въз основа на тази параметризация успяхме да намерим dS за тази повърхнина – повърхнина 2. Всичко това се опрости до 1. Така че е равно просто на du, dv. Така че сега можем да изчислим този повърхностен интеграл ето тук. Можем да изчислим повърхностния интеграл по повърхнина 2 за z, dS. Това е равно на двойния интеграл по u и по v. Ще запиша това. Ще използвам два различни цвята за различните променливи на интегриране – жълто за едната променлива и може би лилаво за другата. Интегрираме по z. В нашата параметризация z е равно на v. Това ето тук е равно на v. Значи тук можем да запишем v. Вече видяхме, че dS е равно на du, dv. Даже можем да напишем, че това е dv, du. Можем да разменим местата им. Ще избера да интегрирам първо по отношение на dv, да сметна dv във вътрешния интеграл. След това ще интегрирам по du във външния интеграл. Причината да избера първо да интегрирам относно v е заради границите на нашите параметри. v има долна граница 0. Горната му граница по същество е функция от u. Горната граница се променя. Понеже тук можеш да видиш, че в зависимост от местоположението, в зависимост от стойността на х, имаме различна височина. И тъй като тя е функция от u, можем да интегрираме относно v. Границите ще бъдат 0 и 1 минус косинус от u. Всичко това в цикламено представлява функция от u. След това ще интегрираме по отношение на u. u е в интервала от 0 до 2 по пи. Това ще ни даде просто едно число, ако всичко това сработи. Така че това се опростява до един обикновен двоен интеграл. Сега можем да започнем с изчисленията. Ще запиша външната част. Външният интеграл е от 0 до 2 по пи, du. Вътрешната част – примитивната функция от v е v на квадрат върху 2. Ще изчислим интеграла от 0 до 1 минус косинус от u. Това ще бъде равно – отново – външният интеграл е от 0 до 2 по пи. Тук записвам du. Значи това е равно на това... Ще запиша просто 1/2. Всъщност мога да запиша 1/2 ето тук. Просто ще запиша 1/2 по (1 минус косинус от u) на квадрат . Значи това ще бъде просто 1 на квадрат минус 2 по произведението на тези двете, така че минус 2 по косинус от u. Ще си направя повече място ето тук. 1 минус 2 по косинус от u плюс косинус на квадрат от u минус това нещо, изчислено за 0, което ще бъде просто 0. Така че просто получаваме това ето тук. След това имаме du. Сега можем да изчислим това. Можем да интегрираме това относно u. Да го направим. Отговорът... аз просто ще изнеса 1/2, за да опростя нещата. Тук имаме 1/2 пред интеграла. Ако намерим примитивната функция на това относно u, тогава пак ще имаме 1/2 отпред. Значи това е равно на 1/2. Ще намерим примитивната функция. Да го направим внимателно. Всъщност ще опростя, за да ни е по-лесно да намерим примитивната функция. Значи това е 1/2 по интеграла... Ще разделя този интеграл на три различни интеграла. 1/2 по интеграл от 0 до 2 по пи от 1 по du, което е просто du, минус 2 по интеграл от 0 до 2 по пи, интеграл от косинус от u, du. Това е този член ето тук. Плюс интеграл от 0 до 2 по пи, от косинус на квадрат от u. Косинус на квадрат от u ще ни затрудни в това да намерим примитивната му функция. Така че ще използваме тригонометрично тъждество. Винаги забравям как се казва, но си мисля за това тъждество, при което от косинус на квадрат получаваме косинус от 2 по u. Съгласно това тригонометрично тъждество ето това тук е равно на следното – използваме знанията си по тригонометрия. Това е 1/2 плюс 1/2 по косинус от 2 по тита, или може би е по-добре да кажем косинус от тита, косинус от 2 по u. Това е последният интеграл ето тук, който мога да преработя – всъщност ще използвам същия цвят. 1/2 плюс 1/2 косинус от 2 по u. И накрая имаме нашето du. Сега ще затворя скобите. Всичко това е умножено по 1/2. Това ето тук, този косинус на квадрат от u, просто използваме тригонометричното тъждество и получаваме това. Сега това е много лесно за нас. Примитивната функция на това е просто u изчислено за 2 по пи и за 0. Таке че това, по същество... направо ще го запиша. Тази част ето тук е просто u изчислено от 0 до 2 по пи. Това е 2 по пи минус 0. Изчисляваме го и получаваме 2 по пи. Отпред имаме 1/2, а след това по 2 по пи. Примитивната функция ето тук ще е равна на минус 2 по примитивната функция на косинус от u. Това е просто синус от u, изчислен от 0 до 2 по пи. Синус от 2 по пи е 0. Синус от 0 е 0. Цялото това нещо е равно на 0. Значи минус 0. После намираме примитивната функция на това ето тук. Примитивната функция на това е равна... примитивната функция на 1/2 е 1/2 по u. Примитивната функция на 1/2 по косинус от 2 по u – ако имаме отпред 2, тогава това би било производната на синус от 2 по u. Но ние нямаме 2 отпред. Значи ще добавим 2. Всъщност ще го напиша по следния начин. Можем да сложим 2 ето тук, а след това да разделим на 2. Можем да поставим 2 – това е малко объркващо. Искам да го поясня. 1/2 по косинус от 2 по u е равно на 1/2 по 1/2 – ще го запиша по следния начин – това е равно на 1/4 по 2 по косинус от 2 по u. Тези величини са равни. Причината да го запиша по този начин е... това е производната на синус от 2 по u. Когато намерим примитивната функция на това, това е равно на плюс... ще използвам същия цвят – плюс 1/4 по синус от 2 по u. И ще изчислим това от 0 до 2 по пи. Можеш да провериш това. Намираш производната на това. Използваш правилото за диференциране на сложна функция. Получаваш 2 отпред. 2 по 1/4 дава 1/2. Производната на синус от 2 по u относно 2 по u е косинус от 2 по u. Сега ще сметнем това за 2 по пи и за 0. Когато го сметнем за 2 по пи, получаваме 1/2 по 2 по пи, което дава пи. Значи това е плюс пи, плюс 1/4 по синус от 2 по 2 по пи, което е синус от 4 по пи. Това е равно на 0. Значи това дава 0. После имаме минус 1/2 по 0. После имаме 1/4 по синус от 2, по 0. Всичко това са нули, когато заместим с 0 тук. Цялото това нещо е просто 2 по пи. Вече сме почти на финала, поне за втората повърхнина. Ще се върна към цвета, който използвам за повърхнина 2, защото вече сме близо до финала. Значи този повърхностен интеграл за повърхнина 2 ще бъде просто 1/2 по (2 по пи, минус 0, плюс пи). Това е 1/2 по 3 по пи, което е равно на... сега можем да получим овации, едни скромни овации, защото още не сме решили цялата задача. Това е равно на 3 по пи, върху 2. Доста напреднахме. Това е 0. Сега тази част тук е 3 по пи, върху 2. В следващото видео ще разгледаме третата повърхнина.