Инфлексни точки (алгебрично)

Нека функцията g от х да бъде равна на 1/4 по х на четвърта степен, минус 4 по х на трета степен, плюс 24 по х на квадрат. За кои стойности на х графиката на функцията g има инфлексни точки? Или има точки на инфлексия? Нека само да си припомним какво е инфлексна точка. Инфлексна точка е място, където функцията променя своята изпъкналост. Казано по друг начин, това е място, където втората производна g'' от х променя знака си. Променя знака си. Нека да изследваме втората производна на функцията. За целта, нека първо да я намерим. Знаем, че g от х е равно на 1/4 по х на четвърта степен, минус 4 по х на трета степен, плюс 24 по х на квадрат. Като знаем това, нека да намерим g' от х. g' от х ще бъде равно на... Просто ще приложа правилото за намиране производна на степен няколко пъти. 4 по 1/4 е равно на 1. Няма да го записвам. Ще се получи 1 по х на степен 4 минус 1, т.е. на трета степен. Минус 3 по 4, което е равно на 12, по х на степен 3 минус 1, т.е. х на втора степен, плюс 2 по 24, което е равно на 48. По х на степен 2 минус 1 или само х на първа степен. Мога просто да го запиша като х. Ето че я получихме. Имаме първата производна. Сега искаме да намерим втората производна. g'' от х е просто производна на първата производна, спрямо х – и още малко от правилото за намиране производна на степен – 3 по х на квадрат минус 24 по х на първа степен, т.е. само 24 по х, плюс 48. Нека помислим къде този израз променя знака си. g'' от х е непрекъсната функция и ще бъде дефинирана за всяка стойност на х. Следователно единствените кандидати за това къде производната сменя знака си, са когато този израз е равен на 0. Нека да видим къде този израз е равен на 0. Приравняваме го на 0. 3 по х на квадрат минус 24 по х плюс 48 е равно на 0. Нека да видим. Всичко се дели на три, така че нека да разделим целия израз на 3. Получава се х на квадрат минус 8 по х, плюс 16 е равно на 0. Нека да видим дали не може да го разложим. Ще се получи х минус 4 по х минус 4. Или просто може да се запише като х минус 4 на квадрат е равно на 0. Тогава х минус 4 е равно на 0. Следователно х е равно на 4. g'' от 4 е равно на 0. Нека да проверим какво се случва от всяка една страна на тази точка. Просто да проверим дали действително производната сменя знака си. Нека да начертая една числова ос. Това е 2, 3, 4, 5 и т.н. Знаем, че нещо интересно се случва точно ето тук. g'' от 4 е равно на 0. g'' от 4 е равно на 0. Нека да помислим каква е втората производна, когато х е по-малко от 4. Действително, нека да опитаме с g'' от 0, защото това ще бъде много лесно за изчисление. g'' от 0 просто ще бъде равно на 48. Когато х е по-малко от 4, втората производна g'' е по-голяма от 0. Следователно функцията ще бъде изпъкнала в рамките на този интервал, наляво от 4. Сега да разгледаме случая отдясно на 4. Ще използвам различен цвят. Какво се случва отдясно на 4? Нека просто да го изчисля. С кое число ще бъде лесно да се изчисли? Може да изчисля g', или по-скоро втората производна g''. Например g'' от 10? Ще го запиша ето тук. Нека да го направя. Не ми стига мястото, затова ще сляза малко по-надолу. g'' от 10 ще бъде равно на 3 по 10 на квадрат, което е равно на 300, минус 24 по 10. Тоест, минус 240 плюс 48. Нека да видим. Това е равно на 60. Това е 300 минус 240, което е равно на 60, плюс 48. Следователно g'' от 10 е равно на 108. Все още е положителна стойност. От коя да е страна на 4 втората производна g'' от х е по-голяма от 0. Тогава, въпреки че втората производна в точката х = 4 е равна на 0, от всяка страна на 4 функцията е изпъкнала. От всяка от двете страни втората производна е положителна. Това число е единственият потенциален кандидат. Следователно няма стойности х, за които функцията g има инфлексна точка. х = 4 беше стойност за х, в която функцията g можеше да има инфлексна точка, ако втората производна сменя знака си, т.е. ако премине от положителна към отрицателна, или от отрицателна към положителна, В случая обаче производната остава положителна. Втората производната е положителна, просто достига до 0 ето в тази точка, след което отново е положителна. Отново се връщаме на поставения въпрос. За кои стойности на х графиката на функцията g има инфлексна точка? Не съществуват такива стойности за х. Ще поставя и удивителен знак, за да наблегна на това.