Решен пример: Инфлексни точки от първа производна

Дадена ни е диференцируемата функция g(х), дефинирана в затворения интервал от –6 до 6. Графиката на нейната производна – тук ни е дадена графиката на производната на g отдолу, това е g'. Това не е графика на функцията g. Това е графиката на g'. Каква е стойността на х в най-лявата инфлексна точка на графиката на g. Тоест искат да знаят стойността на х в инфлексните точки на графиката на g'. Искат да знаят инфлексните точки, стойностите на х в инфлексните точки на графиката на g. Да определеми коя е най-лявата от тях. Тук ще направя една таблица, за да видим какво се случва в инфлексните точки. Втора производна, първа производна, действителна функция. Това е g''. Това е g'. А това е истинската, ако можем да кажем така, оригиналната функция. Инфлексни точки са точките, в които втората производна си сменя знака. Тя преминава от положителна в отрицателна или обратно. Да приемем, че това е първият сценарий. Значи g става от положителна отрицателна Положителна към отрицателна. Ако g'' (два пъти прим), ако втората производна става от положителна отрицателна, какво се случва с първата производна? Спомни си, втората производна е производна на първата производна. Когато втората производна е положителна, там където втората производна е положителна, това означава, че първата производна нараства. Ако втората производна преминава от положителна към отрицателна, това означава, че първата производна преминава от нарастване към намаляване. И самата функция, когато втората производна е положителна, това означава, че наклонът е постоянно нарастващ. Това означава, че имаме изпъкнала нагоре крива. Нагоре към надолу. Към изпъкнала надолу. Но тук са ни дали графиката на g'. Да се фокусираме върху точките, където g' преминава от нарастване към намаляване. g' нараства, нараства, нараства, нараства с бавно темпо, и после започва да намалява. Значи ето тук точно преминава от нарастване към намаляване. Намалява, намалява. После нараства, нараства, нараства и отново започва да намалява. Това е друга точка, в която преминава от нарастване към намаляване. Това са единствените, които където преминава от нарастване към намаляване. Но още не сме готови. Защото не става въпрос само за преминаването на втората производна от положителна към отрицателна, възможно е и в обратния случай. Винаги, когато втората производна си сменя знака. Това е случаят, в който отиваме от отрицателно към положително. За първата производна това е преминаване от намаляване към нарастване. Да видим, намалява, намалява, намалява и после нараства. Това е точно тук. После нараства, намалява, намалява и пак нараства. Ето тук. Това са инфлексните точки, които определихме визуално. Ако погледнем възможните отговори, за да отговорим на първоначалния въпрос, най-лявата стойност на х е равно на –3? Това е за х = –3. х = –1 е стойност на х, за която имаме инфлексна точка. Да видим, х = 2 е друг вариант, и също х = 4. Те са дали всички тези инфлексни точки. Но искат да посочим най-лявата.