If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: точка, в която функцията не е непрекъсната

Сал намира границата на една частично определена функция в точката между два нейни клона. В този случай двете едностранни граници не са равни, затова границата не съществува.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Имаме функцията f(x), която е частично определена. Тя е дефинирана за няколко дадени интервала: първият е за х в (0;2]: 0 по-малко от х и х по-малко или равно на 2, когато f(x) е равно на натурален логаритъм от х. За стойностите на х, по-големи от 2 f(x) e равно на х на квадрат по натурален логаритъм от х. Искаме да намерим границата на f(x), когато х клони към 2. Интересното за числото 2 тук е, че това е границата между тези два интервала. За да намерим функцията при 2, попадаме в първия интервал. х = 2 всъщност е по-малко или равно на 2 и е по-голямо от 0. И така, f(2) е ясно. Това е просто натурален логаритъм от 2, ln2. Но не е задължително и границата да е толкова. За да я намерим, трябва да помислим за лявата граница и за дясната граница. И ако те съществуват, дали са равни. Ако те са равни, то самата граница ще е ясна. Да започнем. Първо да помислим за лявата граница: когато х клони към 2 от лявата посока, откъм по-малките от 2 числа. В този случай ще се намираме в първия интервал, този тук. Работим с числа, които са по-малки от 2 и клонят към 2 отляво. Тук попадаме в този случай, за който знаем, че е непрекъснат в нашия интервал, където сме сега. Със сигурност за всички стойности, по-големи от 0 и по-малки или равни на 2 тази граница ще е равна на израза за този случай, изчислен за х = 2. Това е така, тъй като е непрекъснат в интервала. Лявата граница е равна на ln 2. А сега да помислим за дясната граница, при стойности на х, по-големи от 2. Това е границата на f(x) за х, клонящо към 2 отдясно. Макар че 2 попада в първия интервал, веднага след като х порасне мъничко повече от 2, ще попадне във втория интервал. Затова, когато доближаваме до 2 отдясно, реално сме във втория случай. Тук също виждаме, че има непрекъснатост за всички стойности на х не само по-големи от 2, но дори и за по-големи или равни на 2. За дясната граница можем да направим аналогичен извод, че е равна на стойността от втория случай, като заместим с х = 2. Важно е да се отбележи, че ако просто вземем f(2), то ще попадне в първия интервал, но сега се приближаваме отдясно и когато се намираме отдясно на 2, стойностите на х ще са по-големи от 2, затова ще играе вторият случай. Затова ще изчислим втория израз за х = 2. Тъй като той е непрекъснат. И така, това е равно на 2 на квадрат по натурален логаритъм от 2. Това е равно на 4 по натурален логаритъм от 2. 4 по ln 2. Получихме, че дясната граница съществува. Лявата граница също съществува. Но може би вече забеляза, че техните стойности са различни. Приближаваме се към две различни числа отляво и отдясно. Ако начертаем графиката, ще видим скок в нея. Веднага ще видим прекъсване в графиката на функцията. В този конкретен пример имаме прекъсване от първи род и границата не съществува, тъй като лявата и дясната граница имат две различни стойности. Изводът е, че границата не съществува.