Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Поведение в краищата на полиноми

Научи какво е поведението в краищата на даден полином и как можем да го намерим от уравнението на полинома.
В този урок ще научиш какво представлява "гранично поведение" на даден полином и как да го анализираме от графика или уравнение.

Какво означава "гранично поведение"?

Граничното поведение на една функция f описва поведението на графиката на функцията в "краищата" на оста x.
Казано по друг начин, граничното поведение на една функция описва тенденцията на графиката, ако погледнем десния край на оста x (когато x клони към +) и левия край на оста x (когато x клони към ).
Разгледай например тази графика на полиномната функция f. Обърни внимание, че когато се придвижваш надясно по оста x, графиката на f отива нагоре. Това означава, че колкото повече нараства x, f(x) също нараства все повече и повече.
Записваме това математически по следния начин: когато x+, f(x)+. (Изговаряме го: "когато x клони към плюс безкрайност, f(x) клони към плюс безкрайност.")
В другия край на графиката, когато се придвижваме наляво по протежение на оста x (като си представим, че x клони към ), графиката на f отива надолу. Това означава, че колкото по-малко става x (става все повече и повече отрицателно), f(x) също става все по-отрицателна и по-отрицателна.
Записваме това математически по следния начин: когато x, f(x). (Казваме, че "когато x клони към минус безкрайност, f(x) клони към минус безкрайност.")

Провери знанията си

1) Това е графиката на y=g(x).
Какво е граничното поведение на функцията g?
Избери един отговор:

Алгебрично определяне на граничното поведение

Можем да определим граничното поведение на една полиномна функция и от нейното уравнение. Това често е удобно, когато се опитваме да начертаем графиката на функцията - знаенето на граничното поведение ни помага да визуализираме графиката в "краищата."
За да определим граничното поведение на един полином f от уравнението му, можем да разглеждаме стойностите на функцията за големи положителни и големи отрицателни стойности на x.
По конкретно отговаряме на следните два въпроса:
  • Когато x+, към какво клони f(x)?
  • Когато x, към какво клони f(x)?

Изследване: Гранично поведение на едночлени

Едночленните функции са полиноми от вида y=axn, при които a е някакво реално число, а n е неотрицателно цяло число.
Нека разгледаме алгебрично граничното поведение на няколко едночлена и видим дали можем да направим някакви заключения.
2) Разгледай едночлена f(x)=x2.
За много големи положителни стойности на x, кое описва най-добре f(x)?
Избери един отговор:

За много големи отрицателни стойности на x, кое най-добре описва f(x)?
Избери един отговор:

3) Разгледай едночлена g(x)=3x2.
За много големи положителни стойности на x, кое описва най-добре g(x)?
Избери един отговор:

За много големи отрицателни стойности на x, кое описва най-добре стойността на функцията g(x)?
Избери един отговор:

4) Разгледай едночлена h(x)=x3.
За много големи положителни стойности на x кое описва най-добре стойността на функцията h(x)?
Избери един отговор:

За много големи отрицателни стойности на x, кое от следните твърдения описва най-добре стойността на функцията h(x)?
Избери един отговор:

5) Разгледай едночлена j(x)=2x3.
За много големи положителни стойности на x кое от следните твърдения описва най-добре стойността на функцията j(x)?
Избери един отговор:

За много големи отрицателни стойности на x, кое от следните твърдения най-добре описва стойността на функцията j(x)?
Избери един отговор:

Заключение на изследването

Обърни внимание как степента на едночлена (n) и водещият коефициент (a) се отразяват на граничното поведение.
Когато n е четно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е едно и също. Знакът на водещия коефициент определя дали и двете клонят към +, или и двете клонят към .
Когато n е нечетно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е противоположно. Знакът на водещия коефициент определя кое е + и кое е .
Това е обобщено в таблицата по-долу.
Гранично поведение на едночлени: f(x)=axn
n е четно, а a>0n е четно, а a<0
Когато x, f(x)+, а когато x+, f(x)+.
Когато x, f(x), а когато x+, f(x).
n е нечетно, а a>0n е нечетно, а a<0
Когато x, f(x), а когато x+, f(x)+.
Когато x, f(x)+, а когато x+, f(x).

Провери знанията си

6) Какво е граничното поведение на g(x)=8x3?
Избери един отговор:

Гранично поведение на полиноми

Сега знаем как да намираме граничното поведение на едночлени. Но какво да кажем за полиноми, които не са едночлени? Какво да кажем за функции като g(x)=3x2+7x?
Като цяло граничното поведение на дадена полиномна функция е същото като поведението в краищата на водещия ѝ член или члена с най-големия степенен показател.
Следователно граничното поведение на g(x)=3x2+7x е същото като граничното поведение на едночлена 3x2.
Тъй като степента на 3x2 е четна (2) и водещият коефициент е отрицателен (3), граничното поведение на g е: когато x, g(x) и когато x+, g(x).

Провери знанията си

7) Какво е граничното поведение на f(x)=8x57x2+10x1?
Избери един отговор:

8) Какво е граничното поведение на g(x)=6x4+8x3+4x2?
Избери един отговор:

Защо водещият член определя граничното поведение?

Това е така, защото водещият член има най-голям ефект върху стойностите на функцията за големи стойности на x.
Нека разгледаме това по-подробно, като анализираме функцията g(x)=3x2+7x за големи положителни стойности на x.
Когато x клони към +, знаем че 3x2 клони към и 7x клони към +.
Но какво е граничното поведение на техния сбор? Нека заместим няколко стойности на x във функцията, за да го намерим.
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
1003000070029300
1000300000070002993000
Забележи, че когато x става по-голямо, поведението на полинома е като това на 3x2.
Но нека предположим, че членът x има малко повече тежест. Какво ще се случи, ако вместо 7x имахме 999x?
x3x2999x3x2+999x
1030099909690
100300009990069900
100030000009990002001000
100003000000009990000290010000
Отново виждаме, че за големи стойности на x поведението на полинома е като 3x2. Тъй като беше необходима голяма стойности на x, за да видим тенденцията и тук, това отново се потвърждава.
В действителност, без значение какъв е коефициентът на x, за достатъчно големи стойности на x стойността на 3x2 в крайна сметка ще надделее!

Задачи с повишена трудност

9*) Коя от следните графики може да бъде графиката на h(x)=8x3+7x1?
Избери един отговор:

10*) Какво е граничното поведение на g(x)=(23x)(x+2)2?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.