Основно съдържание
Алгебра 2
Курс: Алгебра 2 > Раздел 5
Урок 3: Поведение в краищата на полиномиПоведение в краищата на полиноми
Научи какво е поведението в краищата на даден полином и как можем да го намерим от уравнението на полинома.
В този урок ще научиш какво представлява "гранично поведение" на даден полином и как да го анализираме от графика или уравнение.
Какво означава "гранично поведение"?
Граничното поведение на една функция f описва поведението на графиката на функцията в "краищата" на оста x.
Казано по друг начин, граничното поведение на една функция описва тенденцията на графиката, ако погледнем десния край на оста x (когато x клони към plus, infinity) и левия край на оста x (когато x клони към minus, infinity).
Разгледай например тази графика на полиномната функция f. Обърни внимание, че когато се придвижваш надясно по оста x, графиката на f отива нагоре. Това означава, че колкото повече нараства x, f, left parenthesis, x, right parenthesis също нараства все повече и повече.
Записваме това математически по следния начин: когато x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (Изговаряме го: "когато x клони към плюс безкрайност, f, left parenthesis, x, right parenthesis клони към плюс безкрайност.")
В другия край на графиката, когато се придвижваме наляво по протежение на оста x (като си представим, че x клони към minus, infinity), графиката на f отива надолу. Това означава, че колкото по-малко става x (става все повече и повече отрицателно), f, left parenthesis, x, right parenthesis също става все по-отрицателна и по-отрицателна.
Записваме това математически по следния начин: когато x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (Казваме, че "когато x клони към минус безкрайност, f, left parenthesis, x, right parenthesis клони към минус безкрайност.")
Провери знанията си
Алгебрично определяне на граничното поведение
Можем да определим граничното поведение на една полиномна функция и от нейното уравнение. Това често е удобно, когато се опитваме да начертаем графиката на функцията - знаенето на граничното поведение ни помага да визуализираме графиката
в "краищата."
За да определим граничното поведение на един полином f от уравнението му, можем да разглеждаме стойностите на функцията за големи положителни и големи отрицателни стойности на x.
По конкретно отговаряме на следните два въпроса:
- Когато x, right arrow, plus, infinity, към какво клони f, left parenthesis, x, right parenthesis?
- Когато x, right arrow, minus, infinity, към какво клони f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Изследване: Гранично поведение на едночлени
Едночленните функции са полиноми от вида y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, при които a е някакво реално число, а n е неотрицателно цяло число.
Нека разгледаме алгебрично граничното поведение на няколко едночлена и видим дали можем да направим някакви заключения.
2) Разгледай едночлена f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) Разгледай едночлена g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) Разгледай едночлена h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) Разгледай едночлена j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Заключение на изследването
Обърни внимание как степента на едночлена left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis и водещият коефициент left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis се отразяват на граничното поведение.
Когато n е четно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е едно и също. Знакът на водещия коефициент определя дали и двете клонят към plus, infinity, или и двете клонят към minus, infinity.
Когато n е нечетно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е противоположно. Знакът на водещия коефициент определя кое е plus, infinity и кое е minus, infinity.
Това е обобщено в таблицата по-долу.
| start color #11accd, n, end color #11accd е четно, а start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd е четно, а start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Когато x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, а когато x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Когато x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, а когато x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd е нечетно, а start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd е нечетно, а start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Когато x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, а когато x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Когато x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, а когато x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
Провери знанията си
Гранично поведение на полиноми
Сега знаем как да намираме граничното поведение на едночлени. Но какво да кажем за полиноми, които не са едночлени? Какво да кажем за функции като g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?
Като цяло граничното поведение на дадена полиномна функция е същото като поведението в краищата на водещия ѝ член или члена с най-големия степенен показател.
Следователно граничното поведение на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x е същото като граничното поведение на едночлена minus, 3, x, squared.
Тъй като степента на start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript е четна left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis и водещият коефициент е отрицателен left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, граничното поведение на g е: когато x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity и когато x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Провери знанията си
Защо водещият член определя граничното поведение?
Това е така, защото водещият член има най-голям ефект върху стойностите на функцията за големи стойности на x.
Нека разгледаме това по-подробно, като анализираме функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x за големи положителни стойности на x.
Когато x клони към plus, infinity, знаем че minus, 3, x, squared клони към minus, infinity и 7, x клони към plus, infinity.
Но какво е граничното поведение на техния сбор? Нека заместим няколко стойности на x във функцията, за да го намерим.
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30000 | 700 | minus, 29300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3000000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2993000, end color #ca337c |
Забележи, че когато x става по-голямо, поведението на полинома е като това на minus, 3, x, squared, point
Но нека предположим, че членът x има малко повече тежест. Какво ще се случи, ако вместо 7, x имахме 999, x?
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9990 | 9690 |
| 100 | minus, 30000 | 99900 | 69900 |
| 1000 | minus, 3000000 | 999000 | minus, 2001000 |
| 10000 | start color #ca337c, minus, 300000000, end color #ca337c | 9990000 | start color #ca337c, minus, 290010000, end color #ca337c |
Отново виждаме, че за големи стойности на x поведението на полинома е като minus, 3, x, squared. Тъй като беше необходима голяма стойности на x, за да видим тенденцията и тук, това отново се потвърждава.
В действителност, без значение какъв е коефициентът на x, за достатъчно големи стойности на x стойността на minus, 3, x, squared в крайна сметка ще надделее!
Задачи с повишена трудност
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.