Въведение в полиномите на Тейлър и Маклорен (част 1)

Ще начертая графика на една произволна функция. Сега ще опитаме да апроксимираме тази произволна функция... не знаем каква е тя –да я представим с многочлен (полином). Ще добавяме членове към този полином. Но за да направим това, трябва да приемем, че можем да изчислим функцията за х равно на нула, че това ще ни даде някаква стойност, и че можем да продължим да намираме производни от функцията, и да пресметнем първата, втората и третата производна, четвъртата производна и т.н. за ха равно на нула. Допускаме, че знаем колко е f(0). Допускаме, че знаем колко е f'(0). Допускаме, че знаем втората производна за 0. Допускаме, че знаем третата производна за 0. Може би да запиша... трета производна. Просто ще запиша f'(0), и така нататък. Да видим как можем да намерим приблизително това, като използваме многочлени с увеличаваща се дължина. Да кажем, че имаме полином само с един член. И този член е константа. Това е полином от нулева степен. Ако имаме член, който е константа, може да искаме да направим тази константа полином... или константна функция – равна на функцията за f(0). Значи, първо искаме р(0), където р е полином, който ще съставим, искаме р(0) да е равен на f(0). Ако искаме да направим това, като използваме полином от само един член, само един постоянен член, можем да поставим р(х) да е равно на f(0). Ако го начертаем, това ще изглежда ето така. Това ще бъде една хоризонтална права за f(0). Тук може да кажеш, че това е ужасно приближение. Това е приближение на функцията само в тази точка. Изглежда, че имаме съвпадение в още няколко точки, но на повечето места нямаме. И сега аз ще ти кажа, че няма как да има по-добро съвпадение с хоризонтална права. Поне имаме в f(0). Това е максималното, което можем да постигнем с една константа. И даже – искам да ти припомня, че това може да не изглежда като константа, но ние приемаме, че като ни е дадена тази функция, можем да я сметнем за 0 и ще получим просто това число. Каквото и да е това число, ще го сложим тук. Ще кажем, че р(х) е равно на това число. Това ще бъде хоризонтална права ето тук в f(0). Но и това не е много добре. Затова да добавим още условия. Освен фактът, че искам р(0) да е равно на f(0), да кажем, че искаме също и р' за 0 да е равно на f'(0). Ще използвам различен цвят. Искаме – с новия цвят, искаме – това не е нов цвят. Искаме и р', първата производна на нашия полином, когато я изчислим за 0, да бъде равна на първата производна на функцията, изчислена за 0. Не искаме да изгубим това ето тук. Какво ще стане, ако сложим р(х) да е равно на f(0)? Взимаме нашето старо р(х), но сега ще добавим още един член, за да бъдат равни производните. Плюс f'(0) по х. Да помислим малко за това. Ако това е нашият нов полином, какво се случва? Колко е р от 0? р(0) е ще бъде равно на f(0) плюс каквото и да е това, f'(0) по нула е нула. Ако заместим х с нула, този член ще стане нула. Така че ще ни остане р(0) = f(0). Това е яко. Връщаме се в първия вариант. Но колко е тази производна тук? Производната на р'(х) е равна на... намираме производната от това. Това е просто константа, така че производната ѝ ще е 0. Производната на коефициент по х ще бъде просто коефициентът. Значи ще бъде f'(0). Ако сметнем това за 0 – значи р'(0). Или производната на нашия полином, изчислена за 0... Знам, че това е малко странно, защото не използваме... намираме р' от х от f(0) и всичко това. Но само си спомни, какво е променлива, какво е константа, и се надявам, че това ще ти се стори логично. Това очевидно ще бъде f'(0). Производната е постоянна стойност. Това е тази константа тук. Допускаме, че можем да намерим производната на нашата функция и да я изчислим за 0, за да получим константа. Така че, ако p'(х) е равно на тази постоянна стойност, очевидно p'(х), изчислено за 0 ще бъде тази стойност. Но хубавото за това е, че този полином, който има член от нулева степен и от първа степен, сега е този полином, който е равен на нашата функция за х = 0. И има същата първа производна. Има същия наклон за х = 0. Така че това ще изглежда, този полином с два члена... започва да става по-добре – ще изглежда нещо подобно, ето така. Ще има принципно... ще изглежда като допирателна в f(х) за х = 0. Нещата се подобряват, но все още нямаме добро приближение. Един вид отива в същата посока като нашата функция около 0. Но може би ще е по-добре, ако се уверим, че те имат една и съща втора производна. И да се опитаме да имаме същата втора производна, когато имаме една и съща първа производна и еднаква стойност за 0, да се опитаме да направим нещо интересно. Нека да дефинираме р(х). Искам да поясня. Това беше първият ни опит. Това тук е вторият ни опит. И съм готов да започна третия опит. При третия ни опит целта ми е стойността на моя полином да е същата като стойността на функцията за 0. Те имат еднакви първи производни за 0. Имат и еднакви втори производни за 0. Да дефинираме моя полином да е равен на... ще направя първите два члена ето тук. Значи ще бъде f(0) плюс f'(0) по х, точно същото, което направихме тук. Сега обаче ще добавя още един нов член. Ще добавя новия член с нов цвят. И тук ще сложа 1/2. Надявам се, че е логично защо го правя. Плюс 1/2 от втората производна на нашата функция, изчислена за нула по х на квадрат. Когато сметнем производната на това, ще разбереш защо слагам тук 1/2. Хайде сега да сметнем това и производната му за 0. Ако сметнем р(0), на колко ще е равно? Имаме този постоянен член. Ако го сметнем за 0, това х и това х на квадрат ще са нули. Значи тези членове изчезват. Значи р(0) пак е равно на f(0). Ако намерим производната от р(х)... ще намеря първата производна ето тук. Ще използвам жълто. Първата производна на новата ми р(х) ще е равна на... този член изчезва. Това е постоянен член. Ще е равно на f'(0). Това е коефициентът на това. Плюс – това е правилото за производна от степен – 2 по 1/2 е просто 1, плюс f''(0) по х. Взимаме 2, умножаваме го по 1/2, и намаляваме степента, това 2 ето тук. Мисля, че сега ти е ясно защо сложих това 1/2 тук. То не позволява да получим коефициент 2 отпред. Колко е р'(0)? Ще го запиша ето тук. р'(0) колко е? Този член тук ще стане нула, така че остава тази постоянна стойност ето тук. Значи ще бъде f'(0). Дотук нашият трети полином има всички свойства на първите два. Да видим какво става с третата производна, или трябва да кажа втората производна. р''(х) е равна на... това е константа, така че производната ѝ е нула. Просто взимаме коефициента от втория член, който е равен на f''(0). Колко е втората производна на р, изчислена за 0? Тя ще бъде просто тази постоянна стойност. Тя ще бъде f''(0). Забележи, като добавим този член, не само стойността на полинома е равна на функцията за 0, неговата производна за 0 е равна на производната на функцията за 0. И втората производна за 0 е равна на втората производна на функцията за 0. Доста добре се получава. И вероятно се досещаш, че тук има някаква закономерност. Всеки член, който добавим, ни позволява да коригираме ситуацията, така че n-тата производна на нашето приближение за нула ще е същата като n-тата производна на функцията за 0. И принципно, ако искаме да продължим с това, ако разполагаме с много свободно време, и искаме да продължим да добавяме членове към полинома, можем – ще използвам нов цвят – може би с някой цвят, който вече съм използвал. Можем да направим приближение на нашия полином. Първият член, постоянният член, ще бъде просто 0. Следващият член ще бъде f'(0) по х. Следващият член ще бъде f''(0) по 1/2 по х^2. Преписах това в малко по-различен ред. Следващият член, ако искаме третата производна да е еднаква за 0, ще бъде f'''(0). Третата производна на функцията за 0, по 1/2 по 1/3, значи по 1 върху 2 по 3, по х на трета степен. И можем да продължим. Вероятно започваш да виждаш закономерност тук. Плюс, ако искаме техните четвърти производни за 0 да съвпадат, това ще бъде четвъртата производна на функцията. Мога да напиша тук 4, но това всъщност подчертава... това е четвъртата производна за 0 по 1 върху... ще променя реда. Вместо да ги записвам във възходящ ред, ще запиша знаменателя като 4 по 3, по 2, и после ще умножа дробта по х^4. Можеш да го провериш самостоятелно. Ако имахме само това и искахме четвъртата производна на това, изчислена за 0, щеше да е равно на четвъртата производна на функцията, изчислена за 0. И принципно можеш да продължиш да добавяш членове, и n-ия член ще изглежда така. n-ата производна на нашата функция, изчислена за 0 по х^n върху n! (n факториел). Обърни внимание, че това е същото като 4! 4! е равно на 4 по 3 по 2 по 1. Не е нужно да пишеш това 1 тук, но можеш и да го сложиш. Това тук е равно на 3! – 3 по 2 по 1. Не съм сложил 1 тук. Това тук е равно на 2!, равно е на 2 по 1. Тук не сме написали нищо, но можеш да разделиш това на 1!, което е равно на 1. А това можеш да разделиш на 0!, който също е 1. Няма да обяснявам сега защо. Но този обобщен числов ред, който един вид съставихме тук, се нарича ред на Маклорен. Можем да го представим като многочлен. И това ни води до някои много важни резултати по-късно. Какво се случва – аз нямам компютър в главата си, за да направя графиката правилно, но само когато функциите са равни, се получава хоризонтална права. Когато направим функциите равни при х равно на нула и първите им производни равни при х = 0, тогава получаваме нещо като допирателна. Ако добавим още една степен, може да изчислим приблизително полинома ето така. Когато добавим още една степен, може да изглежда нещо като това. И като добавяме все повече и повече степени, когато добавяме все повече и повече членове, тя става все по-близка и по-близка, особено в околността на х = 0. На теория, ако добавим безкраен брой членове, трябва да можем... не съм доказал това, но го казвам. Още не съм го доказал. Но ако добавим безкраен брой членове, всички производни трябва да са равни. И тогава функцията трябва да изглежда много подобно на това. В следващото видео ще направя това с реални функции, за да ти стане още по-логично. И само за информация, редовете на Маклорен са частен случай на редове на Тейлър, защото тук използваме за център 0. При ред на Тейлър можем да изберем произволна централна точка. Но сега ще се фокусираме върху реда на Маклорен.