Кривина на спирала, част 2

В края на предходното видео разглеждахме тази параметрична функция на която съответства тримерна крива, и как изглежда графиката. Видяхме, че това е спирала в тримерно пространство. Искаме да намерим нейната кривина, която... Начинът, по който разсъждаваме, е, че имаме една окръжност... Представи си окръжността, която най-плътно приляга, един вид "прегръща" кривата, или можеш да си представиш, че летиш с космически кораб и всички инструменти за управление са блокирали в момента, в който правиш завой, и си задаваш въпроса каква окръжност ще опишеш в пространството, като за целта трябва да разделиш 1 на радиуса на тази окръжност. Ако нямаш нищо против моята рисунка на дете от детската градина, можеш да гледаш тази спирала ето тук, докато решаваме задачата. Частта, до която стигнахме, беше тази тангенциална векторна функция, която съответства на нашата крива. За всяка отделна стойност t, за всяка точка, която съответства на кривата, тази функция ще ни даде вектор, който е с дължина единица и е тангенциален към кривата. Крайната ни цел, за да определим кривината, е да намерим производната на този единичен тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата. По точно ни интересува дължината на този вектор. Обикновено ни е нужно – аз разгледах това във видео клиповете, посветени на формулата – трябва да намерим производната по отношение на параметъра t, защото ние правим точно това, а това може да не съответства на дължина единица, нали? Ако параметърът се промени съвсем малко, това може да не доведе до съответната промяна на дължината на кривата. Коригираме това като разделим на производната на параметризиращата функция по отношение на t. Това по същество е дължината на дъгата, тази дължина на производната на параметризация по отношение на t. Ох, каква трудна дума! За дадената ни функция – да направим това. Първо, като имаме тази дробна форма и тази дробна форма, аз просто ще започна като запиша това по-просто. За функцията на единичния тангенциален вектор този първи компонент, където трябва да разделя на корен квадратен от 26, върху 5, вместо това ще го запиша като минус 5 по синус от t. Просто един вид качвам това минус 5 в числителя, а след това в знаменателя имаме корен от 26, и ще направя същото с косинуса, като преместя това 5 в числителя. Косинус от t, делено на корен квадратен от 26. Последната част, една пета, делено на корен квадратен от 26 пети, ни дава просто 1 делено на корен квадратен от 26. Първата стъпка в използването на нашата формула за кривината е да намерим производната на това ето тук, нали? Търсим производната на функцията на тангенциалния вектор. Да го направим. Виждаме това d главно Т, d малко t, така че параметърът на функцията на тангенциалния вектор равно на – просто намираме производната на всеки компонент. Производната на минус 5 по синус е минус 5 по косинус. Делим го на константата, корен квадратен от 26. По същия начин, 5 по косинус – производната е минус 5 по синус, тъй като производната на косинус е минус синус. Минус 5 по синус, делено на 26, по-точно на корен от 26. Последният компонент е просто константа, производната му е нула. Следващата стъпка е да определим дължината на този вектор, който намерихме. Искаме да намерим дължината на производната на функцията на тангенциалния вектор. И казваме: "Добре, дължината на вектора, който намерихме, d голямо Т, d малко t, включва... тази дължина е корен квадратен – тук ще поставя една малко тикче, корен квадратен от сумата на квадратите на тези функции. Квадратът на първия компонент е 25, умножено по косинус на квадрат от t, цялото делено на 26, защото корен квадратен от 26 на квадрат дава 26. След това прибавяме 25 по синус на квадрат от t, също делено на 26. Сега можем да изнесем пред скоби 25 върху 26, следва корена... изнесохме пред скоби, защото и двата члена съдържат множител 25 и делител 26, след което ни остава една хубава двойка косинус/синус. Точно затова обичам задачите, които включват окръжности. Винаги стигаме до това. Нещата се съкращават хубаво. Това става просто 1 и ни остава корен квадратен от 25 върху 26. Много добре. Корен от 25 върху 26. За уравнението на кривината се връщаме горе и можем да започнем да заместваме. Току-що намерихме числителя, и установихме, че той е корен квадратен от 25, делено на 26. Това цялото е 25 върху 26. Вече намерихме големината на самата производна. Това е едно от нещата, които трябваше да намерим, за да намерим тангенциалния вектор. Така получихме това 26 върху 5. Аз изтрих сметките от предишния клип, за да имам място, но можеш да гледаш пак предишното видео, за да видиш откъде получихме корен квадратен от 26, делено на 5. Ще го запиша като корен квадратен от 26 делено на 25, само защото така го намерихме първо, просто връщам 5 обратно под корена. Изкушаващо е, ако не внимаваш, да си помислиш, че тези ще се съкратят, но всъщност те са наобратно, нали? Едното е 25 върху 26, а другото е 26 върху 25. Ако поставим всичко това под корена, това е равно на корен квадратен... Имаме 25/26 делено на 26/25. Когато обърнем дробта в знаменателя, за да умножим, получаваме 25 на квадрат върху 26 на квадрат. Корен квадратен ни дава просто 25 върху 26, което е нашата кривина. Това е търсеният отговор. Това е кривината. Тя е съвсем малко по-голяма от едно. Не, не, извинявам се. Това е малко по-малко от 1, което означава, че кривината е малко по-малка от тази на окръжност с радиус 1. Това изглежда логично, когато разгледаме чертежа, защото ако спиралата е напълно сплескана, ако си представим, че я притиснем долу в равнината ху, то ще описваме просто окръжност с радиус 1. Но когато разгънем тази пружина, като я разгънем така, че да има компонент z, тогава тя става малко по-изправена. Тогава кривината намалява в известна степен, защото спиралата става малко по-изправена. Радиусът на кривината се увеличава. Така че това е кривината на спирала, което е чудесен пример как сенамира кривина, когато прилагаме директно формулата, когато намираме това dt/ds. Разбираш – определяме този единичен тангенциален вектор. Намираме малката дължина на дъгата. В следващия пример възнамерявам да разгледаме как да използваме формулата, когато имаме нещо малко по-сложно, отколкото това, и тогава използваме самата формула. До скоро!