If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 2

Урок 10: Използване на тригонометрични тъждества

Намиране на стойностите на тригонометрични функции чрез използване на формулите за функциите от сбор на два ъгъла.

Сал намира стойността на sin(7π/12) като го представя като sin(π/3+π/4) и после използва формулата за функцията синус от сбор на два ъгъла. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео искам да намеря на колко е равно синус от (7π върху 12), без да използвам калкулатор. Нека да визуализираме 7π върху 12 в единичната окръжност. Едното рамо на ъгъла лежи на положителната част от оста х (Ох). Право нагоре е разположено π върху 2, което е същото като 6π върху 12, т.е. имаме всъщност още едно π върху 12, за да стигнем до ето тук. Това е ъгълът, за който говорим – с мярка 7π върху 12 радиана. Неговият синус, съгласно определението за единична окръжност, е координатата у на точката, в която този лъч пресича окръжността. Това е единичната окръжност с радиус 1. Ето къде лъчът пресича окръжността. Координатата у е синусът на ъгъла. Другояче казано, това е дължината на тази линия. Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш самостоятелно. Използвай знанията си по тригонометрия, за да намериш sin(7π/12) или дължината на цикламената отсечка. Приемам, че вече пробва и, ако си като мен, може би вниманието ти вече е насочено към този триъгълник, който начертах вместо теб. Триъгълникът изглежда ето така. Искаме да намерим тази дължина тук – синус от 7π върху 12. Знаем, че дължината на хипотенузата е 1. Това е радиусът на единичната окръжност. А триъгълникът е правоъгълен. Знаем мярката на този ъгъл тук, който е този ъгъл ето тук. Това тук е 6π върху 12, после имаме още едно π върху 12 и знаем, че това е π върху 12. Знаем, че този ъгъл е с мярка π върху 12. Като знаем това, можем да изчислим... или поне да потърсим отношението на тази страна към тази, като използваме съответната тригонометрична функция. Това е прилежащият катет. Косинус от π върху 12 ще бъде равно на тази цикламена страна върху 1 или просто на дължината на тази цикламена страна. Можем да кажем, че това е косинус от π върху 12. Току-що открихме, че синус от 7π върху 12 е същото като косинус от π върху 12, но това още не ми върши работа. Не мога да пресметна колко е косинус от π върху 12 радиана, без да използвам калкулатор. Вместо това, да видим дали можем да обединим този ъгъл или да го разложим на няколко ъгъла, за които знаем синус и косинус. Кои са тези ъгли? Това са ъглите в специалните правоъгълни триъгълници. Например познаваме добре триъгълниците 30-60-90. Триъгълниците 30-60-90 изглеждат горе-долу така. Това е най-добрият ми опит да го начертая. Вместо да го напиша като 30 градуса, тъй като разсъждаваме в радиани, ще го напиша като π върху 6 радиана. А страната от 60 градуса ще представя като π върху 3 радиана, а това, разбира се, е правият ъгъл. Ако хипотенузата е равна на 1, страната, разположена срещу ъгъла от 30 градуса, или страната, дълга π върху 6 радиана, ще бъде равна на половината от хипотенузата, която в този случай е 1/2. Другата страна, разположена срещу ъгъла от 60 градуса, или страната, дълга π върху 3 радиана, ще бъде равна на квадратен корен от 3 по по-късата страна. Ще бъде равна на квадратен корен от 3 върху 2. Вече сме използвали тези видове триъгълници, за да намерим синус и косинус от 30 или 60 градуса или, в случая, от π върху 6 или π върху 3. Знаем за π върху 6 и π върху 3. Познаваме също триъгълниците 45-45-90. Знаем, че те са равнобедрени правоъгълни триъгълници. Те изглеждат така – най-сполучливият ми опит да го начертая. Този всъщност не изглежда като равнобедрен, така че нека да го направя по-добре... Това е по-близо до равнобедрен триъгълник. Ако дължината на хипотенузата е равна на 1, което следва от питагоровата теорема, дължината на всяка от другите две страни ще бъде квадратен корен от 2 върху 2 по хипотенузата, което в този случай е квадратен корен от 2 върху 2. Вместо да представяме тези ъгли като равни на 45 градуса, знаем, че това е същото като π върху 4 радиана. Ако имам π върху 6, π върху 3, π върху 4, мога да използвам тези триъгълници или класическите тригонометрични тъждества, или да ги отнеса към единичната окръжност, за да приложа нейното определение за синус, косинус и тангенс от тези ъгли. Мога ли да разложа 7π върху 12 на някаква комбинация от π върху 6, π върху 3 или π върху 4? Нека пренапиша π върху 6, π върху 3 и π върху 4 със знаменател 12. π върху 6 е равно на 2π върху 12, π върху 3 е равно на 4π върху 12, а π върху 4 е равно на 3π върху 12. 2 плюс 4 не е 7, 2 плюс 3 не е 7, но 4 плюс 3 е 7. Следователно мога да използвам π/3 и π/4 . 4π върху 12 плюс 3π върху 12 е равно на 7π върху 12. Мога да го пренапиша. Това е същото като синус от (3π върху 12 плюс 4π върху 12), което е същото като синус от π върху 4... Ще го оцветя по друг начин. Синус от π върху 4 плюс... ...плюс π върху 3. Нека използваме формулата за синус от сбор на ъгли сега, за да запишем това като сбор от произведенията на синусите и косинусите на тези ъгли. Хайде да го направим. Ето това тук ще бъде равно на синус от π върху 4 по косинус от π върху 3 плюс обратното – косинус от π върху 4 по синус от π върху 3, Сега просто трябва да намерим тези неща, а аз вече начертах триъгълниците, за да го направим. Колко е синус от π върху 4? Да помислим... Това тук е π върху 4. Синусът е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата. Това ще бъде квадратен корен от 2 върху 2. Това е квадратен корен от 2 върху 2, Колко е косинус от π върху 3? Това е ъгълът с мярка π върху 3 радиана. Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата. Това ще бъде 1/2. Колко е косинус от π върху 4? Да се върнем на π върху 4. Това е прилежащ към хипотенуза. Равно е на квадратен корен от 2 върху 2. Това е също квадратен корен от 2 върху 2, Колко е синус от π върху 3? Синусът е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата, следователно – квадратен корен от 3 върху 2 върху 1. Квадратен корен от 3 върху 2, делено на 1, което е квадратен корен от 3 върху 2. Сега просто трябва да опростим всичко това. Това ще бъде равно на произведението от тези... Става квадратен корен от 2 върху 4 плюс произведението от тези. Можем да запишем това като квадратен корен от 6 върху 4, квадратен корен от 6 върху 4 или да пренапишем цялото това като... Заслужаваме поне малко аплодисменти вече... Това е еквивалентно на... Нека да отида малко надясно. Това е еквивалентно на квадратен корен от 2 плюс квадратен корен от 6 – цялото това върху 4. Това е резултатът за синус от 7π върху 12 или за косинус от π върху 12 – ето това тук.