Биномно разпределение на вероятността за успех при свободен удар

В няколко клипа разучавахме ситуация, при която хвърляме няколко наказателни удара и намираме вероятността да имаме k на брой попадения и имаме 6 опита или n на брой опита. Нека всъщност дефинираме една произволна променлива, като използваме тази ситуация и видим дали можем да получим нейното вероятностно разпределение, като всъщност ще видим, че това е биномно разпределение. Нека дефинираме случайната променлива х. Ще кажем, че х е равно на броя на вкараните хвърляния, броя на успешните наказателни удари, при изпълнени 6 наказателни удара. При колко от 6-те хвърляния ще имаш попадение? Ще приема същото, което приехме в първото видео от тази поредица, за попадението на тези наказателни удари. Ще приемем, че имаме 70% вероятност за попадение наказателните удари. Приемам 70% успех при наказателен удар, 70% успешни наказателни удари. Добре. Нека намерим вероятностите за различните стойности, които х може да има. Каква е вероятността, каква е вероятността х да е равно на 0? Дори да си мислиш, че имаш 70% успех при наказателните удари, може да не вкараш при нито едно от хвърлянията. Като всъщност можеш да го изчислиш вероятно чрез някакъв общ начин, без да използваш всички тези сложни неща, но просто за да направя нещата да са еднакви, ще го напиша. Това ще бъде равно на... комбинации от 6 елемента нулев клас, по 0,7 на степен 0, по 0,3 на степен 6, като това тук ще ни даде 1. Това тук накрая ще ни даде 1. Така че ще останеш само с 0,3 на 6-та степен, като аз съм го изчислил предварително. Ако закръглим до най-близката... ако закръглим до най-близкия процент, до най-близката десета, това ще ти даде приблизително, ако закръглим десетичната дроб до най-близката хилядна, ще получиш нещо подобно, което е приблизително равно на 0,1% вероятност да пропуснеш всичките удари. Така че казвам, че грубо тук имаме шанс 1 на 1000 това да се случи, да пропуснем всичките 6 наказателни удара. Нека продължим, това е интересно. Каква е вероятността произволната променлива да е равна на 1? Ще имаме комбинации от 6 елемента първи клас, по 0,7 на първа степен, по 0,3 на степен 6 минус 1. Това е 5-та степен. Аз го изчислих и това е приблизително 0,01 или можем да кажем 1%. Това е все още доста ниска вероятност. 10 пъти по-вероятно от това, но все още доста ниска вероятност. Нека продължим. Вероятността х да е равно на 2, като това по същество беше в първото видео. Ще имаме, комбинации от 6 елемента втори клас, по 0,7 на квадрат, по 0,3 на 4-та степен. Като видяхме, че това ще бъде приблизително 0,06 или бихме могли да кажем 6%. Очевидно мога да въведа тези неща в калкулатора и да получа много по-точен отговор, но просто за да добием основна представа как ще изглеждат тези вероятности, правя тези груби закръгляния. Един вид можеш да кажеш, че закръглям до най-близката може би десета от процента. Всъщност ако закръглиш до най-близката десета от процента, получаваш 6 точки от процента, а това е 1 точка, 1 точка от процента, защото тук стигнахме до десета от процент, но нека продължим. Очевидно ще трябва да направим още няколко от тези изчисления. Нека се уверя, че имам достатъчно място. Добре, при вероятността случайната променлива да е равна на 3 ще имаме комбинации от 6 елемента трети клас, като съм сигурен, че можеш да попълниш това самостоятелно, но аз ще го направя. 0,7 на 3-та степен по 0,3 на степен 6 минус 3, което е 3-та степен, което е приблизително равно на... ще имаме 0,185 или 18,5%. Това определено е в рамките на областта на вероятностите. Искам да кажа, че всички тези са областта на вероятността, но това започва да бъде не толкова незначителна вероятност. Сега нека намерим вероятността случайната променлива да е равна на 4. Ще имаме комбинации от 6 елемента четвърти клас, по 0,7 на степен 4, по 0,3 на степен 6 минус 4 или втора степен, което е равно на, това ще бъде равно на, или приблизително равно, защото ще се отърва малко от прецизността тук, когато записвам тези неща. 0,324. Така че имаме приблизително 32,4% вероятност да вкараме точно 4 от 6 наказателни удара. Добре, остават още 2. Да видим, все още не съм използвал лилавото. При вероятността даден случайна променлива да е равна на 5 ще имаме комбинации от 6 елемента пети клас, по 0,7 на 5-та степен, по 0,3 на степен 1 и това ще бъде около 0,303, което е 30,3%. Това е интересно. Остава още едно. Вероятността да вкарам всичките, от всички 6 хвърляния, ще бъде равна на, комбинации от 6 елемента 6 клас и 0,7 на 6-та степен по 0,3 на степен 0, което е точно... това тук ще бъде 1, това ще бъде 1, така че е наистина просто 0,7 на 6-та степен. Като това е приблизително 0,118. Изчислих го предварително, което е 11,8% 11,8%. Тук се случва нещо интересно. Първият път, когато разгледахме биномно разпределение, казахме: "Има симетрия, като един вид стигаме до някакъв вид връх и слизаме надолу, но тук не виждам тази симетрия." Причината, поради която не виждам тази симетрия, е че е по-вероятно да вкараш наказателен удар, отколкото да не вкараш. Имаше 70% вероятност при наказателните удари. Това не е хвърлянето на монета. Където ще видиш, че имаме симетрия в тези коефициенти. Ако изчислиш тези коефициенти, ако изберем 0 от 6, ще имаме 1. 6 от 6 е 1. Ще видиш, че при 1 от 6 имаме 6 и при 5 от 6 имаме 6. Видя, че при избора на 2 от 6 имаме 15 и при 4 от 6 имаме също 15, и след това при избора на 3 от 6 имаме 20. Определено виждаш симетрията в коефициентите, но след това тези неща са свързани с факта, че е по-вероятно да направиш нещо, отколкото да пропуснеш нещо. Ако и двете бяха 0,5, тогава можеше също да видиш симетрията тук. И можеш да нанесеш това на графика, за да визуализираш по същество, как ще изглежда вероятното разпределение при този пример. Като аз ти препоръчвам да го направиш. Да вземеш тези различни случаи, точно както направихме в първия пример с хвърлянето на монета и да ги нанесеш на графика. Но това по същество ти дава вероятното разпределение за случайната променлива от задачата. Аз просто го написах, вместо да го визуализирам, но то гласи: "Каква е... Това са различните стойности, които тази случайна променлива може да приеме." Тя не може да бъде –1 или не може да бъде 15,5 или пи, или 1 милион. Това са единствените 7 стойности, които тази случайна променлива може да приеме и аз просто ти дадох вероятностите или предполагам можеш да кажеш приблизителните вероятности случайната променлива да приеме всяка от тези 7 стойности.