Основно съдържание

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 1

Урок 4: Кинематични формули и свободно падане

Кои са уравненията на кинематиката?

Това са основните уравнения, които можеш да използваш при анализ на ситуации с постоянно ускорение.

Кои са уравненията на кинематиката?

Уравненията на кинематиката са няколко формули, които изразяват връзките между петте кинематични променливи, изредени по-долу.

delta, x, start text, П, р, е, м, е, с, т, в, а, н, е, end text
t, start text, В, р, е, м, е, в, и, space, и, н, т, е, р, в, а, л, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, Н, а, ч, а, л, н, а, space, с, к, о, р, о, с, т, end text, space
v, space, space, space, start text, К, р, а, й, н, а, space, с, к, о, р, о, с, т, end text, space
a, space, space, start text, space, П, о, с, т, о, я, н, н, о, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, end text, space

[Защо интервалът от време сега е записан само с t?]

Ако знаем три от тези пет кинематични променливи — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a — за обект, който се движи с постоянно ускорение, можем да използваме кинематично уравнение, виж по-долу, за да намерим някоя от неизвестните променливи.

Кинематичните формули (още формули на кинематиката, кинематични уравнения и уравнения на кинематиката) са следните

[Откъде дойдоха тези формули?]

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Тъй като кинематичните формули са верни, само ако ускорението през въпросния времеви интервал е постоянно, трябва да внимаваме да не ги използваме, когато ускорението се променя. Също така, тези формули са записани така, че са верни само ако всички променливи имат една и съща посока: хоризонтална x, вертикална y, и т.н.

[Момент, моля?]

Какво е свободно падащ обект?

Може да ти се струва, че обстоятелството, че кинематичните формули важат само за времеви интервали, в които ускорението е постоянно, драстично ограничава тяхната приложимост. От друга страна, например за едно от най-често разглежданите видове движение - свободното падане - се оказва, че е движение с постоянно ускорение

Поради гравитацията всеки свободно падащ обект на Земята, независимо от масата му, има постоянно ускорение надолу с големина g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, г, о, л, е, м, и, н, а, space, н, а, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, т, о, space, п, о, р, а, д, и, space, з, е, м, н, а, т, а, space, г, р, а, в, и, т, а, ц, и, я, right parenthesis, end text

Свободно падащ обект се дефинира като всеки друг обект, който, обаче, се ускорява единствено и само под действието на гравитацията. Обикновено приемаме, че съпротивлението на въздуха е достатъчно малко, за да можем да го пренебрегнем, което означава, че всеки обект, който е пуснат, хвърлен или по друг начин падащ свободно във въздуха, обикновено се приема за движещ се с постоянно ускорение надолу с големина g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Ако се замислим, това изглежда едновременно странно и добре за нас. Странно е, защото това означава, че един голям камък ще ускорява надолу по същия начин като едно малко камъче и ако ги пуснем от една и съща височина, ще стигнат земята в един и същи момент.

[Как е възможно?]

За нас е добре, че не е необходимо да знаем масата на свободно падащия обект, когато решаваме кинематични уравнения, тъй като свободно падащите тела имат едно и също ускорение, независимо от тяхната маса. И това е ускорението с големина g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, стига, разбира се, съпротивлението на въздуха да е пренебрежимо малко.

Обърни внимание, че g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction е само големината на ускорението поради гравитацията (може да се нарича също гравитационно ускорение). Ако посоката нагоре е избрана за положителна, ускорението на свободно падащ обект поради гравитацията, което трябва да заместим в кинематичните формули, става отрицателно: a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Внимание Забравянето на знака минус е една от най-често срещаните грешки при използването на кинематични формули.

Как избираш и използваш кинематична формула?

Избираме кинематичната формула, която съдържа както неизвестната променлива, която търсим, така и три от кинематичните променливи, които вече знаем. По този начин можем да намерим неизвестното, което искаме да намерим, което ще бъде единственото неизвестно във формулата.

Например да кажем, че знаем, че книга на земята е ритната напред с начална скорост с големина v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, m, slash, s, end text, след което са били необходими t, equals, 3, start text, space, s, end text, за да се плъзне книгата на разстояние от delta, x, equals, 8, start text, space, m, end text. Можем да използваме кинематичната формула delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, за да намерим неизвестното ускорение a на книгата – като предполагаме, че ускорението е било постоянно – тъй като знаем всички други променливи в тази формула, освен a – delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t.

Съвет за решаване на задачи: Обърни внимание, че във всяка от кинематичните формули липсва по точно една от петте кинематични променливи — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a.

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, В, space, т, а, з, и, space, ф, о, р, м, у, л, а, space, н, е, space, у, ч, а, с, т, в, а, space, delta, x, point, right parenthesis, end text

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, В, space, т, а, з, и, space, ф, о, р, м, у, л, а, space, н, е, space, у, ч, а, с, т, в, а, space, a, point, right parenthesis, end text

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, В, space, т, а, з, и, space, ф, о, р, м, у, л, а, space, н, е, space, у, ч, а, с, т, в, а, space, v, point, right parenthesis, end text

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, В, space, т, а, з, и, space, ф, о, р, м, у, л, а, space, н, е, space, у, ч, а, с, т, в, а, space, t, point, right parenthesis, end text

За да избереш кинематичната формула, която е подходяща за конкретната задача, виж коя променлива не ти е дадена и не се иска да я намериш. Например в дадената по-горе задача, крайната скорост v на книгата нито е дадена, нито се търси, така че трябва да изберем формула, която изобщо не включва v. Във формулата delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared не присъства v, така че тя е най-подходяща за намиране на ускорението a.

[Не би ли трябвало да има и пета кинематична формула, в която да не участва началната скорост?]

Как се извежда първата кинематична формула, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Това е навярно най-лесната за извеждане кинематична формула - тя е чисто и просто преобразувана версия на дефиницията за ускорение. Можем да започнем с дефиницията за ускорение:

a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

\quad

[Това не е ли средното ускорение?]

Сега можем да заменим delta, v с дефиницията за промяна на скоростта v, minus, v, start subscript, 0, end subscript.

a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Накрая изразяваме v и получаваме

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

И ако се съгласим да използваме t за delta, t, това става първата кинематична формула.

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Как се извежда втората формула на кинематиката, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Готин начин за извеждане на тази кинематична формула е чрез разглеждане на графика на скоростта на обект с постоянно ускорение – с други думи, постоянен наклон – започващ със скорост v, start subscript, 0, end subscript, както е показано на графиката по-долу.

Площта под графиката на скоростта дава отместването delta, x. Така че площта под тази графика на скоростта ще бъде отместването delta, x на обекта.

delta, x, equals, start text, space, о, б, щ, а, space, п, л, о, щ, end text

Можем удобно да разделим тази област на синия правоъгълник и червения триъгълник, както е показано на графиката горе.

Височината на синия правоъгълник е v, start subscript, 0, end subscript, а ширината му е t, така че лицето му е v, start subscript, 0, end subscript, t.
Основата на червения триъгълник е t и височината му е v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, така че площта на червения триъгълник е start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Общата площ ще бъде сумата от площите на синия правоъгълник и червения триъгълник.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Ако разкрием скобите зад общия множител start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, ще получим

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Можем да опростим, като комбинираме двата члена с v, start subscript, 0, end subscript:

delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

И накрая можем да преобразуваме дясната страна, с което получаваме втората кинематична формула.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Тази формула е интересна, защото ако разделиш двете страни на t, получаваш start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Това показва, че средната скорост start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction е равна на средноаритметичното на началната и крайната скорост start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction. Това обаче е вярно само при постоянно ускорение (постоянен наклон).

Как се извежда третата кинематична формула, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Има няколко начина за извеждане на уравнението delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared. Има един хубав геометричен начин и един не толкова вълнуващ начин с алгебрични манипулации. Ние първо ще го изведем по хубавия геометричен начин.

Да разгледаме обект с начална скорост v, start subscript, 0, end subscript, който поддържа постоянно ускорение докато развие крайна скорост v, както е показано на графиката по-долу.

Тъй като площта под графиката на скоростта дава отместването delta, x, всеки член от дясната страна на формулата delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared представлява някаква площ на графиката по-горе.

Членът v, start subscript, 0, end subscript, t представлява площта на синия правоъгълник, тъй като A, start subscript, п, р, а, в, о, ъ, г, ъ, л, н, и, к, end subscript, equals, h, w.

Членът start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared представлява площта на червения триъгълник, тъй като A, start subscript, т, р, и, ъ, г, ъ, л, н, и, к, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h.

[Чакай, как така?]

Това е. Формулата delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared трябва да е вярна, тъй като отместването трябва да бъде равно на общата площ под кривата. Приехме, че графиката на скоростта е хубава диагонална линия, за да можем да използваме формулата за триъгълник, така че тази кинематична формула, подобна на останалите кинематични формули, е вярна единствено при положение, че ускорението е постоянно.

Ето един алтернативен начин за извеждане. Третата кинематична формула може да се изведе чрез заместване на първата кинематична формула v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t във втората кинематична формула start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction.

Започваме с втората кинематична формула:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

и използваме v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, за да заместим v, при което получаваме:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Можем да разкрием скобите отдясно и да получим:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Като комбинираме двата члена с start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction отдясно, получаваме:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

И накрая умножаваме двете страни по времето t, при което получаваме третата кинематична формула.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Отново използвахме други кинематични формули, които имат изискване за постоянно ускорение, така че тази трета кинематична формула е вярна само при условието, че ускорението е постоянно.

Как се извежда четвъртата кинематична формула, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

За да изведем четвъртата кинематична формула, ще започнем с втората кинематична формула:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Искаме да премахнем времето t от тази формула. За да направим това, ще изразим времето от първата кинематична формула v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, при което получаваме t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction. Ако заместим времето t с този израз във втората кинематична формула, ще получим:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Като умножим отдясно, получаваме:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis

И сега като изразим v, squared, получаваме четвъртата кинематична формула.

v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Кое е объркващото при кинематичните формули?

Хората често забравят, че кинематичните формули са верни само при постоянно ускорение по време на разглеждания времеви интервал.

Понякога известната променлива няма да бъде явно дадена в задачата, но ще бъде загатната с кодови думи. Например „започва от покой“ означава v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, „пуснат“ често означава v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, а „спира“ означава v, equals, 0. Също, големината на ускорението поради гравитацията на свободно падащ обект се подразбира, че е g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, така че това ускорение няма да бъде давано изрично в задачите, но ще се подразбира при свободно падащи тела.

Хората често забравят, че всички кинематични променливи – delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a – освен t, могат да бъдат отрицателни. Липсващ знак минус е много често срещана причина за грешка. Ако сме приели посоката нагоре за положителна, земното ускорение за свободно падащ обект е отрицателно: a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Третата кинематична формула, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, може да доведе до решаване на квадратно уравнение, виж решения пример 3 по-долу.

Хората забравят, че въпреки че могат да избират някакъв интервал от време по време на постоянното ускорение, кинематичните променливи, с които заместваш в кинематична формула, трябва да съответстват на този интервал от време. С други думи, началната скорост v, start subscript, 0, end subscript трябва да бъде скоростта на обекта в началната позиция и началото на времевия интервал t. Аналогично, крайната скорост v трябва да бъде скоростта в крайната позиция и в края на анализирания интервал от време t.

Как изглеждат решени примери с кинематичните формули?

Пример 1: Първа кинематична формула, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Балон за вода е напълнен със сок и е пуснат от покрива на много висока сграда.

Каква е скоростта на балона, след като е падал в продължение на t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text?

Като приемем посоката нагоре за положителна, известните ни променливи са:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Тъй като балонът е пуснат, той започва от покой.)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text (Това е времевият интервал, скоростта в края на който искаме да намерим.)
a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction(Това се подразбира от обстоятелството, че балонът извършва свободно падане.)

[Крайната скорост не е ли нула, при положение, че се удря в земята?]

В тази ситуация движението е вертикално, така че ще използваме y за означаване на позицията, вместо x. Символът няма значение, стига да се придържаме към вече направения избор, но хората често използват y при вертикално движение.

Тъй като не знаем отместването delta, y и от нас не се иска да намерим отместването delta, y, ще използваме кинематичната формула v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, в която липсва delta, y.

v=v_{0}+at \quad \text{(Използваме първата кинематична формула, тъй като в нея липсва $\Delta y$.)}

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, п, ъ, р, в, а, т, а, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, н, а, space, ф, о, р, м, у, л, а, comma, space, т, ъ, й, space, к, а, т, о, space, в, space, н, е, я, space, л, и, п, с, в, а, space, delta, y, point, right parenthesis, end text

v, equals, 0, start text, space, m, slash, s, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, и, з, в, е, с, т, н, и, т, е, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, point, right parenthesis, end text

v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, П, р, е, с, м, я, т, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Забележка: Крайната скорост е отрицателна, тъй като балонът се движи надолу.

[Не можем ли да изберем посоката надолу за положителна?]

Пример 2: Втора кинематична формула, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Леопард тича с 6,20 m/s и след като вижда мираж във вида на камион за сладолед, леопардът забързва до 23,1 m/s за 3,3 секунди.

Колко разстояние е изминал леопардът, докато е ускорявал от 6,20 m/s до 23,1 m/s?

Като приемем, че посоката на началната скорост на движение е положителна, известните ни променливи са:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text (Начална бързина на леопарда)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text (Крайна бързина на леопарда)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, s, end text (Времето, което е отнело на леопарда да ускори)

Тъй като не знаем ускорението a и от нас не се иска да го намерим, ще използваме втората кинематична формула за хоризонталната посока delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, в която не присъства a.

{\Delta x}=(\dfrac{v+v_{0}}{2})t \quad \text{(Използваме втората кинематична формула, тъй като в нея не участва $a$.)}

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, в, т, о, р, а, т, а, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, н, а, space, ф, о, р, м, у, л, а, comma, space, т, ъ, й, space, к, а, т, о, space, в, space, н, е, я, space, н, е, space, у, ч, а, с, т, в, а, space, a, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, и, з, в, е, с, т, н, и, т, е, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Пример 3: Трета кинематична формула, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

На ученик му писва да си пише домашното за кинематични формули и затова хвърля молива си право нагоре във въздуха с 18,3 m/s.

Колко време отнема на молива да достигне за пръв път височина с 12,2 метра по-висока от мястото, от което е хвърлен?

Като приемем посоката нагоре за положителна, известните ни променливи са:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text (Началната скорост на молива нагоре)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, end text (Искаме да намерим времето, за което моливът реализира това отместване.)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Моливът пада свободно.)

Тъй като не знаем крайната скорост v и от нас не се иска да я намерим, ще използваме третата кинематична формула за вертикалното направление delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, в която v не присъства.

delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, З, а, п, о, ч, в, а, м, е, space, с, space, т, р, е, т, а, т, а, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, н, а, space, ф, о, р, м, у, л, а, point, right parenthesis, end text

Обикновено просто бихме изразили алгебрично променливата, която искаме да намерим, но тази кинематична формула не може да бъде решена алгебрично за време, ако никой от членовете не е нула. Това е така, защото когато никой от членовете не е нула и t е неизвестната променлива, това уравнение е квадратно уравнение. Можем да видим това, като заместим с известните стойности.

12, comma, 2, start text, space, m, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, и, з, в, е, с, т, н, и, т, е, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, point, right parenthesis, end text

За да приведем в по-решим вид квадратното уравнение, преместваме всичко от едната страна на уравнението. Като извадим 12,2 m от двете страни, получаваме

0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, и, space, в, space, к, в, а, д, р, а, т, н, о, т, о, space, у, р, а, в, н, е, н, и, е, point, right parenthesis, end text

Вече решаваме квадратното уравнение за времето t. Решенията на квадратно уравнение във вида a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 се намират чрез формулата t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction. За нашето кинематично уравнение a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text и c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text.

Така че, като заместим във формулата, получаваме

t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

Тъй като има знак плюс/минус, получаваме два отговора за времето t: един, като използваме знака plus, и един, като използваме знака minus. Така получаваме следните два момента време:

t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text и t, equals, 2, comma, 86, start text, space, s, end text

Има две положителни решения, тъй като има два момента, в които моливът е на височина 12,2 m. По-ранният момент се отнася до времето, необходимо да се изкачи нагоре и първо да достигне отместване 12,2 m. По-късният момент се отнася до времето, необходимо за придвижване нагоре, преминаване на височината 12,2 m, достигане на максимална височина и след това спускане надолу до точката с височина 12,2 m.

Така че, за да отговорим на въпроса „Колко време отнема на молива да достигне за пръв път височина, с 12,2 метра по-висока от мястото, от което е хвърлен?“ ще изберем по-ранния момент от време t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text.

[А какво става, когато получим отрицателно решение на квадратното уравнение?]

Пример 4: Четвърта кинематична формула, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Европейски мотоциклетист започва със скорост с големина 23,4 m/s, но като вижда задръстване пред себе си, забавя, като изминава следващите 50,2 m с постоянно ускорение с големина 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction. Приеми, че мотоциклетистът се движи напред през цялото време.

Каква е новата скорост на мотоциклетиста след забавянето за 50,2 m?

Като приемем, че посоката на началната скорост на движение е положителна, известните ни променливи са:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text (Началната скорост на мотоциклетиста)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Ускорението е отрицателно, защото мотоциклетистът забавя, а приехме, че посоката му на движение е напред.)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, m, end text (Искаме да знаем скоростта на мотоциклетиста след преместването.)

Тъй като не знаем времето t и от нас не се иска да намерим времето, ще използваме четвъртата кинематична формула за хоризонтално направление v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, в която t не фигурира.

v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, З, а, п, о, ч, в, а, м, е, space, с, space, ч, е, т, в, ъ, р, т, а, т, а, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, н, а, space, ф, о, р, м, у, л, а, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, Р, е, ш, а, в, а, м, е, space, у, р, а, в, н, е, н, и, е, т, о, space, з, а, space, к, р, а, й, н, а, т, а, space, с, к, о, р, о, с, т, point, right parenthesis, end text

Имай предвид, че като вземеш квадратен корен, получаваш два възможни отговора: положителен и отрицателен. Тъй като нашият мотоциклетист ще продължава да се движи в посоката на движението, в която е започнал, и ние предположихме, че тази посока е положителната, ще изберем положителния отговор v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root.

Сега заместваме със стойностите и получаваме:

v_x=\sqrt{(23{,}4\text{ m/s})^2+2(-3{,}20\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})(50{,}2\text{ m})} \quad \text{(Заместваме с известните стойности.)}

v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, и, з, в, е, с, т, н, и, т, е, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 1

Кои са уравненията на кинематиката?

Какво е свободно падащ обект?

Как избираш и използваш кинематична формула?

Как се извежда първата кинематична формула, v=v0+atv=v_0+atv=v0​+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Как се извежда втората формула на кинематиката, Δx=(v+v02)t{\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})tΔx=(2v+v0​​)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Как се извежда третата кинематична формула, Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2Δx=v0​t+21​at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Как се извежда четвъртата кинематична формула, v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta xv2=v02​+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

Кое е объркващото при кинематичните формули?

Как изглеждат решени примери с кинематичните формули?

Пример 1: Първа кинематична формула, v=v0+atv=v_0+atv=v0​+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Пример 2: Втора кинематична формула, Δx=(v+v02)t{\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})tΔx=(2v+v0​​)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Пример 3: Трета кинематична формула, Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2Δx=v0​t+21​at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Пример 4: Четвърта кинематична формула, v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta xv2=v02​+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Как се извежда първата кинематична формула, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Как се извежда втората формула на кинематиката, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Как се извежда третата кинематична формула, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Как се извежда четвъртата кинематична формула, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

Пример 1: Първа кинематична формула, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Пример 2: Втора кинематична формула, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Пример 3: Трета кинематична формула, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Пример 4: Четвърта кинематична формула, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x